De standaardvorm van een functiedefinitie

Werken met R bij wiskunde: Functies

De standaardvorm van een functiedefinitie

Net als andere objecten moeten functies worden gedefinieerd voordat ze kunnen worden gebruikt. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is de definitie van de veeltermfunctie \(f(x)=x^3 + x - 1\) .

Voorbeeldsessie in R In de 'console' van RStudio kun je de functie als volgt definiëren:

> f <- function(x) { x^3 + x - 1 }
> f(-2:2)  # pas de functie f toe op -2, -1, 0, 1, 2
[1] -11  -3  -1   1   9

In een script verdelen we de code meestal over verschillende regels voor leesbaarheid, en dan ziet de definitie er als volgt uit:

f <- function(x) {
  value <- x^3 + x -1
  return(value)
}

We voegen nog één voorbeeld toe: bekijk het voorbeeld en lees dan de uitleg

De functie \(e^x\) heeft de volgende machtreeksontwikkeling: \[\begin{aligned}e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\end{aligned}\] Stel nu dat we veeltermfuncties \(F_n(x)\) ) het functievoorschrift geven dat het de veelterm is die je zou krijgen als je de machtreeks na \(n\) termen afkapt. Dus: \[F_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\] Op deze manier krijgen we een reeks functies \(F_1, F_2, \cdots\) Omdat we niet elke functie afzonderlijk willen definiëren, construeren we een R-functie F met twee argumenten, namelijk \(x\) en \(n\), in het volgende script:

F <- function(x, n) { 
       som <- 0
       for (k in 0:n) {
         som <- som + x^k/factorial(k)
       }
       return(som)
     }
print(F(1, 3))  # ruwe benadering van het getal e
print(F(1, 5))  # goede benadering van het getal e
print(F(1, 10)) # betere benadering van het getal e

Je krijgt drie getallen als uitvoer, namelijk 2.66667, 2.716667, en 2.718282, wanneer je het script uitvoert. De laatste instructie laat zien dat de functie voor \(n=10\) en \(x=1\) een numeriek resultaat oplevert dat de exacte waarde van \(e\), de basis van de natuurlijke logaritme, benadert met een nauwkeurigheid van 6 decimalen. De afwijking van de reeksbenadering van de exacte waarde wordt de afbreekfout van de benadering genoemd.

Met opzet hebben we de functie niet korter gedefinieerd door

F <- function(n, x) { sum( x^(0:n) / factorial(0:n) ) }

omdat dit ons in staat stelt om meer aspecten van een functiedefinitie te bespreken en geen gebruik maakt van vectorisatie.
\(\phantom{x}\)

De standaardvorm in R van de definitie van een functie die een waarde retourneert is:

naam <- function(argumenten) { 
  geïndenteerde instructies
  return(waarde)
}

Het concrete voorbeeld van de functie F illustreert dat

een functie meer dan één argument kan hebben: hier speelt \(n\) de rol van een parameter en \(x\) is de 'gebruikelijke' variabele van een wiskundige functie \(F_n(x)\);
het functievoorschrift wordt begrensd door indentatie van instructies, die regel voor regel worden ingevoerd zonder een scheidingssymbool zoals een puntkomma;
variabelen binnen een functievoorschrift kunnen worden gedefinieerd en alleen betekenis hebben binnen de functie zelf en niet daarbuiten. We noemen deze variabelen lokale variabelen (naast som is ook k een lokale variabele in de herhalingslus);
de functie return() wordt gebruikt om een waarde terug te geven.

Opmerking

Als je de return opdracht vergeet, dan retourneert de functie standaard de waarde van de laatste instructie, die het lege object NULL kan zijn. Dit kan nuttig zijn, omdat een R-functie ook alleen bedoeld kan zijn voor een neveneffect, zoals het afdrukken van tekst. Dit is echter vaak niet het geval, en het vergeten van de return opdracht wordt beschouwd als een fout of een stijlfout.

Een alternatief is om een expressie te gebruiken als de laatste instructie (zoals in ons eerste voorbeeld van een veeltermfunctie), waarbij de berekende waarde van de expressie wordt geretourneerd als het resultaat. Voor eenvoudige wiskundige functies is deze manier van functies definiëren niet verkeerd, maar het gebruik van de return functie is vaak duidelijker.