Verzamelingen ben je vast al tegen gekomen voordat je je bezig hield met wiskunde. Misschien verzamel je zelf wel Pokémon kaarten of ben je een postzegelverzameling. Voor een verzamelaar tellen dubbelen wel mee in de verzameling. Maar in de wiskunde doen we dit niet.

Het verzamelingsbegrip uit het dagelijkse realiteit staat bijvooorbeeld toe dat een verzameling zowel munten als postzegels kan bevatten. Je krijgt een verzameling dan eenvoudigweg door een stel dingen bij elkaar te nemen. In ieder geval moet je voor de vorming van een verzameling eerst objecten hebben en die hoeven op zich niets met elkaar te maken hebben: een aap, postzegel en een geheel getal mogen best een verzameling vormen. Binnen de wiskunde is het meer gangbaar om objecten 'van gelijke soort' of 'met soortgelijke waarden' te gebruiken in een verzameling. Voorbeelden hiervan zijn de verzameling van natuurlijke getallen, de verzameling van gehele getallen en de verzameling van priemgetallen.

Waar een postzegelverzameling of de verzameling van Nederlandse plaatsnamen maar uit eindig veel objecten kan bestaan, is dat binnen de wiskunde niet nodig. De verzameling van natuurlijke getallen, genoteerd met \(\mathbb{N}\), en de verzameling van gehele getallen, genoteerd met \(\mathbb{Z}\), bestaan elk uit oneindig veel objecten. Omdat elk natuurlijk getal ook een geheel getal is, geldt dat \(\mathbb{N}\) bevat is in \(\mathbb{Z}\); we zeggen dat \(\mathbb{N}\) een deelverzameling is van \(\mathbb{Z}\).

Als een verzameling maar uit eindig veel objecten bestaat, dan kunnen we door de tellen vaststellen wat de grootte van de verzameling, d.w.z. het aantal onderscheidbare objecten, is. Maar bij oneindige verzameling is er een probleem. Omdat \(\mathbb{N}\) een deelverzameling is van \(\mathbb{Z}\) die niet alle objecten uit \(\mathbb{Z}\) bevat, is gevoelsmatig \(\mathbb{N}\) kleiner dan \(\mathbb{Z}\). Maar intuïtie kan bedriegen: in onderstaande tabel nummeren we de gehele getallen met een natuurlijk getal als label. \[\begin{array}{r|ccccccccc} \text{label} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \ldots\\ \hline
\text{geheel getal} & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 & -4 & \ldots\end{array}\] We hebben dus een afbeelding \[f(n)=\begin{cases} 0 & \text{als } n=0 \\ -\tfrac{1}{2}n & \text{voor even } n\neq0 \\ \tfrac{1}{2}(n+1) & \text{voor oneven } n\end{cases}\] die elk natuurlijk getal afbeeldt op een geheel getal en waarvoor elk geheel getal een bijpassend natuurlijk getal \(n\) heeft.In deze opzet is er veel voor te zeggen dat \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{Z}\) even groot zijn. De groote van oneindige verzameling is verre van triviaal en pas eind negentiende eeuw door Georg Cantor systematisch onderzocht.

Wat bovenstaande inleiding laat zien is dat de begrippen object, verzameling en grootte van een verzameling niet vanzelfsprekend zijn en niet gemakkelijk gedefinieerd kunnen worden. Maar ook zonder precieze definities kunnen we met het begrip verzameling als collectie van objecten wel uit de voeten, als we maar voorzichtig genoeg zijn. We bedrijven naïeve verzamelingsleer. die in praktijk meestal goed werkt maar ook paradoxen oplevert, Om echt uit de problemen te blijven zouden we de axiomatische verzamelingsleer moeten behandelen, die begin twintigste eeuw door Zermelo en Fraenkel ontwikkeld is. Maar dit valt buiten de lesstof.

Waarschuwing vooraf: de lesstof introduceert veel terminologie die binnen de wiskunde veelvuldig gebruikt.