Specificatie van een verzameling

Naïeve verzamelingenleer: Elementaire begrippen en notaties

Specificatie van een verzameling

We geven geen definities van verzamelingen en hun objecten en gaan ook niet in op axioma's. In plaats daarvan werken we met een intuïtieve beschrijving en proberen vooral door voorbeelden een goede indruk te geven waarover we het hebben.

Intuïtieve definitie van verzameling

Intuïtieve definitie

Een verzameling is te beschouwen als een geheel van objecten zodanig dat je ondubbelzinnig

van elk object kan vaststellen of het al dan niet tot dat geheel behoort;
elk object kan identificeren. Dit betekent dat je kan nagaan wanneer twee objecten aan elkaar gelijk zijn en dus in feite hetzelfde object zijn.

Een bijzondere verzameling is de lege verzameling, die—nomenest omen—geen objecten bevat.

Een eindige verzameling is een verzameling die slechts een eindig aantal elementen bevat. Met $\# X$ en $|X|$ noteren we het aantal elementen van de eindige verzameling $X$. Dit heet de kardinaliteit van $X$.

Voorbeelden

Oneven getallen kleiner dan 10;
Plaatsnamen in Nederland;
Klinkers in het Nederlandse alfabet;
Fibonnaci getallen (0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...);
De verzameling bestaande uit alle verzamelingen die je met de objecten $a$, $b$ en $c$ kan construeren, inclusief de lege verzameling;
De reële getallen.

Als $X=\{a,b\}$ dan $\hash X=|X|=2$.

Je vraagt je misschien wel af waarom de objecten uit een verzameling van elkaar te onderscheiden moeten zijn. Welnu, zonder dit kenmerk wordt het vaststellen van de grootte van een verzameling problematisch. Het is een pragmatische keuze: in een alfabet zal je niet tweemaal de letter a opnemen; in een postzegelverzameling wil je daarentegen wel dubbelen opnemen.

Expliciete specificatie en notatie

Expliciete specificatie (opsomming) en notatie

Meestal noteren we verzamelingen met hoofdletters $A, B, C,\ldots$ en gebruiken we kleine letters $a, b, c,\ldots$ om de objecten, ook wel elementen genoemd, in de verzameling aan te duiden.

Als we een verzameling expliciet specificeren (opsommen) door de elementen op te sommen, gebruiken we accolades. De volgorde waarin we de objecten samennemen, speelt hierbij geen enkele rol.

De lege verzameling noteren we met $\emptyset$ of $\{\}$.

Als $x$ een element van de verzameling $X$ is, dan noteren we dit als $x\in X$. Als $x$ geen element van de verzameling $X$ is, dan noteren we dit als $x\notin X$.

Voorbeelden

$\{1,3,5,7,9\}$ is de verzameling oneven getallen kleiner dan 10. \[\{1,2,3\}=\{3,2,1\}\] \[4\in \{2,4,6\}\] \[\text{Corneel}\notin \{\text{Jan}, \text{Piet}, \text{Joris}\}\] \[a\in \{a\}\] \[a \notin \bigl\{\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\bigr\}\] \[\{1,1,2\}=\{1,2\}\]

Woordkeuze In plaats van "$x$ is een element van $X$" gebruiken we ook wel de zinsnede "$x$ behoort tot $X$" en "$x$ is lid van $X$."

Indexnotatie Zijn er meerdere, op eenzelfde manier gespecificeerde verzamelingen in het spel, dan kunnen we toch één hoofdletter gebruiken door eer een zogenaamde index aan toe te voegen. Een voorbeeld is \[N_i\overset{\text{def}}{=}\text{de verzameling van alle natuurlijke getallen kleiner of gelijk aan }i\text.\] In dit geval is $N_0=\{0\}$, $N_1=\{0,1\}$, $N_2=\{0,1,2\}$, $N_3=\{0,1,2,3\}$, enzovoorts.

Notaties voor veelgebruikte verzamelingen Sommige verzamelingen hebben vaste namen en notaties, zoals de volgende getallenverzamelingen: de natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$), de gehele getallen ($\mathbb{Z}$), de rationale getallen ($\mathbb{Q}$), de reële getallen ($\mathbb{R}$), de complexe getallen ($\mathbb{C}$) en de quaternionen ($\mathbb{H}$). De verzameling van positieve reële getallen wordt genoteerd als $\mathbb{R}^{+}$. Dus: $\mathbb{R^{+}=\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ Op dezelfde manier worden $\mathbb{Z}^{+}=\{1,2,3,\ldots\}$ en $\mathbb{Q}^{+}=\{r\in \mathbb{Q}\mid r>0\}$ gedefinieerd. De verzameling van reële getallen ongelijk aan nul wordt genoteerd als $\mathbb{R}^{*}$. Dus: $\mathbb{R}^{+*}=\{x\in \mathbb{R}\mid x\neq 0\}$ Op dezelfde manier worden $\mathbb{Z}^{*}=\{\ldots, -3, -2, -1, 1,2,3,\ldots\}$, $\mathbb{Q}^{*}=\{r\in \mathbb{Q}\mid r\neq 0\}$ en $\mathbb{C}^{*}=\{z\in \mathbb{C}\mid z\neq 0\}$ gedefinieerd.

Impliciete specificatie en notatie

Impliciete specificatie (omschrijving, constructie)

Een expliciete specificatie van een verzameling is onhandig als het aantal elementen groot of oneindig is of de structuur van een verzameling verbergt. In dit geval kun je beter een verzameling impliciet specificeren door een definiërende eigenschap te vermelden. Twee veelgebruikte notaties zijn: \[X=\{x\mid P(x)\}\text,\] waarmee wordt aangegeven dat alle $x$-en, waarvoor $P(x)$ geldt, element van de verzameling $X$ zijn.

Voordat je kunt onderzoeken of $P(x)$ voor een bepaalde $x$ voldoet, moet je eerst een object $x$ kunnen kiezen. Hiertoe gaan we uit van een andere verzameling, die we het universum noemen en soms aangeven met de letter $U$. Je kunt het universum in de eigenschap (impliciet) vermelden of voor de scheidslijn plaatsen \[X=\{x\in U\mid P(x)\}\text.\]

Je kunt ook een constructieve specificatie m.b.v. een functie $f$ hanteren:\[X=\{f(x)\mid P(x)\}\text,\] duidt de verzameling van functiewaarden $f(x)$ aan voor die waarden van $x$ waarvoor $P(x)$ geldt.

Voorbeelden

\[\{n \mid n=1\text{ of }n=2\}= \{0,1\}\] \[\{n\in\mathbb{N} \mid 0\le n\le 1\}= \{0,1\}\] \[\{n\in\mathbb{N} \mid n \text{ is deelbaar door }2\}\] \[{}= \text{even natuurlijke getallen}\\\] \[\{n^2\mid n\in\mathbb{Z}\}={}\]\[\text{alle kwadraten van gehele getallen}\\\] \[\bigl\{n^3\mid n\in\{0,1,2,3,4,5\}\bigl\}\]\[{}=\{0,1,8,27,64,125\}\phantom{xxxxx}\,\,\]\[{}=\text{eerste 6 derde machten in }\mathbb{N}\\\] \[\{10n\mid n\in\mathbb{N}\text{ en } -10<n<10\}\]\[{}=\text{tientallen tussen }-100\text{ en }100\\\] \[\{n \mid n\neq n\}= \emptyset\]

Dubbele punt In plaats van $\{f(x)\mid P(x)\}$ wordt in sommige boeken ook $\{f(x) : P(x)\}$ geschreven, dat wil zeggen een dubbele punt gebruikt en niet een verticaal streepje.

Het naïeve comprehensie principe, dat we in deze theoriepagina hanteren, kan als volgt geformuleerd worden:

"Laat $P$ een eigenschap van objecten (verzamelingen) zijn, dan bestaat er een verzameling, bestaande uit precies die objecten, die de eigenschap $P$ hebben."

Maar later (in Cantor's paradox en in Russell's paradox) bleek dit naïeve comprehensie principe niet houdbaar te zijn. Alleen de axiomatische verzamelingenleer biedt hier uitkomst, maar dit valt buiten de lesstof.

Russell's paradox kan als volgt beschreven worden:

Stel $X$ is de verzameling van alle verzamelingen die niet zichzelf als element hebben. De vraag is nu: bevat $X$ zichzelf? Als het antwoord op deze vraag nee is, dan bevat $X$ zichzelf per definitie. Als het antwoord op deze vraag ja is, dan bevat $X$ zichzelf dus. In beide gevallen, als $X$ zichzelf bevat, dan kan het per definitie zichzelf niet bevatten. We komen uit op een tegenspraak.

Intervalnotatie Vaak bestaat het universum uit de verzameling van reële getallen en wordt daarin een interval gespecificeerd. Een interval is een aaneengesloten verzameling reële getallen, een stukje van een getallenlijn. Hieronder staan intervallen met de gebruikelijke notatie en het bijbehorende deel van de getallenlijn. Bijvoorbeeld \[\ivoo{a}{b}=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x<b\}\] en \[\ivoo{a}{\infty}=\{x\in \mathbb{R}\mid x>a\}\]

Intervalnotatie	Notatie met ongelijkheidstekens	Stukje van de getallenlijn
\[\ivoo{a}{b}\]	\[a<x<b\]
\[\ivco{a}{b}\]	\[a\le x<b\]
\[\ivoc{a}{b}\]	\[a< x\le b\]
\[\ivcc{a}{b}\]	\[a\le x\le b\]
\[\ivoo{a}{\infty}\]	\[x> a\]
\[\ivco{a}{\infty}\]	\[x\ge a\]
\[\ivoo{-\infty}{b}\]	\[x< b\]
\[\ivoc{-\infty}{b}\]	\[x\le b\]
\[\ivoo{-\infty}{\infty}\]	(alle reële getallen)

Bij de intervalnotatie schrijf je dus de grenswaarden (de kleinste en de grootste waarden, de kleinste eerst) van het interval op tussen twee haakjes. Hierbij bepaalt de vorm van de haakjes of de grenswaarde nog wel bij het interval hoort of juist niet: een rechte haak geeft aan dat de grenswaarde wel bij het interval hoort, een rond haak geeft aan dat de grenswaarde niet bij het interval hoort. Voor intervallen die aan één kant geen grenswaarde hebben gebruik je het oneindig-symbool en een ronde haak. $〈$

De intervalnotatie voor alle reële getallen in de laatste rij van bovenstaande tabel wordt minder vaak gebruikt dan de notatie $\mathbb{R}$.