Gelijke verzameling, deelverzameling en machtsverzameling

Naïeve verzamelingenleer: Elementaire begrippen en notaties

Gelijke verzameling, deelverzameling en machtsverzameling

Gelijkheid en ongelijkheid van verzamelingen

Gelijkheid / ongelijkheid

Gelijkheid van twee verzamelingen \(A\) en \(B\), genoteerd als \(A=B\), betekent dat ze dezelfde elementen hebben. Dat wil dus zeggen dat elk element van \(A\) ook element is van \(B\) en omgekeerd.

Ongelijkheid van twee verzamelingen \(A\) en \(B\), d.w.z. het niet gelijk zijn aan elkaar, noteren we als \(A\neq B\).

Voorbeelden

\[\{a,b,b\}=\{a,b\}=\{b,a\}\] \[\{n\in\mathbb{N}\mid n^2<10\}\]\[
{}=\{n\in\mathbb{N}\mid n\le 3\}\]\[{}=\{0,1,2,3\}\phantom{xxxxx}\!\] \[\{a\}\neq\bigl\{\{a\}\bigr\}\]

Gelijkheid van verzameling wordt in de literatuur ook wel het axioma van extensionaliteit in de verzamelingenleer genoemd.

Deelverzameling

Deelverzameling

Een verzameling \(A\) is een deelverzameling van een verzameling \(B\) als elk element van \(A\) ook tot \(B\) behoort. We noteren dat als \(A\subset B\). De notatie \(A\subseteq B\) wordt wel gebruikt om te bedrukken dat de verzameling gelijk kunnen zijn. Maar waar \(\lt\) symbool is voor "strikt kleiner" en \(\le\) symbool is voor "kleiner dan of gelijk aan" , staan de notaties \(\subset\) en \(\subseteq\) voor hetzelfde begrip van inclusie, nl. "is deelverzameling van." Als \(A\subset B\) maar \(A\neq B\), noteren we dit als \(A\subsetneq B\) en noemen we dit een echte deelverzameling.

Als \(A\) geen deelverzameling van \(B\) is, dan noteren we dit als \(A\not\subset B\).

Voorbeelden

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\] \[\{1\}\subset\{1,2\}\] \[\{1\}\subsetneq\{1,2\}\] \[\{1,2\}\subset\{2,1\}\] \[\{1,2\}\subsetneq\{n\in\mathbb{N}\mid n<4\}\] \[\emptyset\subset\{1,2\}\] \[\emptyset\subset\emptyset\] \[\{a,b,c\}\not\subset\{a,b,d\}\]

Symbolen voor inclusie Let op: er zijn ook tekstboeken waarin \(\subseteq\) symboliseert "is een deelverzameling van" en \(\subset\) symboliseert "is een echte deelverzameling van." Een voorbeeld hiervan is Seymour Lipschutz, Set Theory, uit de Schaum's serie

Omvattende verzameling Als geldt dat \(A\) een deelverzameling is van \(B\), dan zeggen we dat \(B\) een omvattende verzameling is van \(A\), genoteerd met: \(B\supset A\) of \(B\supseteq A\).
Als \(B\) een echte omvattende verzameling van \(A\) is, dan kunnen we dit noteren met \(B\supsetneq A\).
Als \(B\) geen deelverzameling van \(B\) is, dan dan kunnen we dit noteren met \(B\not\supset A\).

Element vs deelverzameling

Verwar het symbool \(\in\) niet met het symbool \(\subset\). Bijvoorbeeld, \(\{1\}\in\bigl\{\{1\},2\bigr\}\), maar \(\{1\}\not\subset\bigl\{\{1\},2\bigr\}\) omdat \(1\) geen element is van de laatstgenoemde verzameling. Ook: \(\{1,2\}\subset \{1,2,3\}\), maar \(\{1,2\}\notin \{1,2,3\}\).

De symbolen \(\in\) en \(\subset\) zijn wel nauw verwant want \[x\in X\text{ dan en slechts dan als }\{x\}\subset X\text.\]

Voor alle verzamelingen \(A\), \(B\) en \(C\):

\(\emptyset\subset A\).
\(A\subset A\).
\(A=B\text{ dan en slechts dan als } A\subset B\text{ en }B\subset A\).
Als \(A\subset B\) en \(B\subset C\), dan \(A\subset C\).

Het bewijs volgt haast onmiddellijk uit de definitie van de begrippen deelverzameling en lege verzameling.

Machtsverzameling

Machtsverzameling

De verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling \(X\) wordt de machtsverzameling van \(X\) genoemd. We geven deze aan met \({\Large\wp}(X)\).

Volgens onze naïeve verzamelingenleer is \({\Large\wp}(X)\) een verzameling en voor alle \(x\) geldt dat \(x\in {\Large\wp}(X)\) dan en slechts dan als \(x\subset X\). In formulevorm: \[{\Large\wp}(X)=\{Y\mid Y\subset X\}\]

Voorbeelden

\[{\Large\wp}(\emptyset)=\{\emptyset\}\] \[{\Large\wp}\bigl(\{a\}\bigr)=\bigl\{\emptyset, \{a\}\bigr\}\] \[{\Large\wp}\bigl(\{a,b\}\bigr)=\bigl\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\bigr\}\] \[{\Large\wp}\bigl(\{a,b,c\}\bigr)=\bigl\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \\ \phantom{xxx}\{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\bigr\}\]

Als \(X\) een eindige verzameling is met \(n\) elementen, dan is \({\Large\wp}(X)\) een eindige verzameling met \(2^n\) elementen.

Voor alle verzamelingen \(A\) en \(B\):

Als \(A\subset B\), dan \({\Large\wp}(A)\subset {\Large\wp}(B)\).
Als \({\Large\wp}(A)\subset {\Large\wp}(B)\), dan \(A\subset B\).
Als \({\Large\wp}(A)= {\Large\wp}(B)\), dan \(A=B\).

Het bewijs volgt haast onmiddellijk uit de definities van de begrippen deelverzameling en machtsverzameling.