Geordend paar

Een geordend paar \((x,y)\) is een paar van objecten waarbinnen er een eerste component \(x\) is en een tweede component \(y\). Twee geordende paren \((u,v)\) en \((x,y)\) zijn gelijk dan en slechts dan als \(u=x\) en \(v=y\). In het algemeen zal \((x,y)\) niet gelijk zijn aan \((y,x)\). De volgorde van de objecten in een geordend paar doet er dus toe.

Cartesisch product

Het Cartesisch product van de verzamelingen \(X\) en \(Y\), genoteerd als \(X\times Y\), is gedefinieerd als de verzameling van geordende paren \((x,y)\) waarbij \(x\) tot \(X\) behoort en \(y\) tot \(Y\) behoort. In formulevorm: \[X\times Y = \{(x,y)\mid x\in X\text{ en } y\in Y\}\] We noteren \(X\times X\) ook wel als \(X^2\).

Voorbeelden

Als \(X=\{1,2\}\) en \(Y=\{a,b\}\), dan \[\begin{aligned} X\times Y&=\bigl\{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\bigr\}\\[0.25cm]
Y\times X&=\bigl\{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)\bigr\}\\[0.25cm]
X\times X&=\bigl\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\bigr\}\\[0.25cm]
Y\times Y&=\bigl\{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)\bigr\}\end{aligned}\]
\(\mathbb{R}\times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)

Geordend tripel

Een geordend tripel \((x,y,z)\) is een drietal objecten waarbinnen er een eerste component \(x\) is, een tweede component \(y\) en een derde component \(z\). Twee geordende tripels \((u,v,w)\) en \((x,y,z)\) zijn gelijk dan en slechts dan als \(u=x\) en \(v=y\) en \(w=z\). De volgorde van de objecten in een geordend tripel doet er dus toe.

Cartesisch product

Het Cartesisch product van de verzamelingen \(X\), \(Y\) en \(Z\), genoteerd als \(X\times Y\times Z\), is gedefinieerd als de verzameling van geordende tripels \((x,y,z)\) waarbij \(x\) tot \(X\) behoort, \(y\) tot \(Y\) behoort en \(z\) tot \(Z\) behoort . In formulevorm: \[X\times Y\times Z= \{(x,y,z)\mid x\in X\text{ en } y\in Y\text{ en } z\in Z\}\] We noteren \(X\times X\times X\) ook wel als \(X^3\).

Voorbeelden

Als \(X=\{1,2\}\), \(Y=\{a,b\}\) en \(Z=\{\alpha,\beta\}\), dan \[\begin{aligned} X\times Y\times Z &=\bigl\{(1,a,\alpha), (1,a,\beta),\\ &\phantom{=\bigl\{\;} (1,b,\alpha), (1,b,\beta),\\ &\phantom{=\bigl\{\;} (2,a,\alpha), (2,a,\beta),\\
&\phantom{=\bigl\{\;} (2,b,\alpha), (2,b,\beta)\bigr\}\end{aligned}\] \(\mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}= \mathbb{R}^3\)

Geordend \(\boldsymbol{n}\)-tal

Een geordend \(\boldsymbol{n}\)-tal \((x_1,x_2,\ldots x_n)\) is voor elk natuurlijk getal \(n\ge 1\) recursief te definiëren als \[\begin{aligned} (x_1,x_2,\ldots x_n) &= \bigl((x_1,x_2,\ldots, x_{n-1}),x_n\bigr)\\ (x) &= x\end{aligned}\] Voor iedere \(n\in \mathbb{N}\), \(n\ge 1\): \((x_1,x_2,\ldots, x_n)=(y_1,y_2,\ldots, y_n)\) dan en slechts dan als \(x_1=y_1\) en \(x_2=y_2\) en \(\dots\) en \(x_n=y_n\).

We noteren het product van \(n\) keer dezelfde verzameling \(X\) ook als \(X^n\).

Voorbeelden

\(\mathbb{R}^3=(\mathbb{R}\times \mathbb{R})\times\mathbb{R}\)

Als \(X=\{1,2\}\), dan met recursie: \[\begin{aligned} X^3 &=X^2\times X\\[0.25cm]
&=\bigl\{(1,1),(1,2), (2,1), (2,2)\bigr\}\times\{1,2\}\\[0.25cm]
&= \Bigl\{\bigl((1,1),1\bigr),\bigl((1,1),2\bigr),\bigl((1,2),1\bigr)\\[0.25cm] &\phantom{===}\! \bigl((1,2),2\bigr),
\bigl((2,1),1\bigr),\bigl((2,1),2\bigr),\\[0.25cm]&\phantom{===} \!\bigl((2,2),1\bigr),\bigl((2,2),2\bigr)\Bigr\}\end{aligned}\]