Naïeve verzamelingenleer: Relaties
Eigenschappen van relaties op een verzameling
Eigenschappen van een binaire relatie
Eigenschappen
Een binaire relatie \(R\) op een verzameling \(X\) heet:
- reflexief als \(xRx\) voor iedere\(x\in X\);
- symmetrisch als voor alle \(x,y\in X\) geldt: als \(xRy\), dan \(yRx\);
- antisymmetrisch als voor alle \(x,y\in X\) geldt: als \(xRy\) en \(yRx\), dan \(x=y\);
- asymmetrisch als er geen enkel paar \((x,y)\in X\times X\) bestaat zodanig dat \(xRy\) en \(yRx\);
- transitief als voor alle \(x,y,z\in X\) geldt: als \(xRy\) en \(yRz\), dan \(xRz\).
Voorbeelden
De relatie \(\le\) op \(\mathbb{Z}\) is reflexief, niet symmetrisch, antisymmetrisch en transitief.
De relatie \(\lt\) op \(\mathbb{Z}\) is niet reflexief, niet symmetrisch, asymmetrisch en transitief.
De relatie \(=\) op \(\mathbb{Z}\) is reflexief, symmetrisch, antisymmetrisch en transitief.
De relatie "is evenwijdig aan" op de verzameling van lijnen in het vlak is reflexief, symmetrisch en transitief.
Stel dat \(R\) een relatie op een verzameling \(X\) is. Dan:
- \(R\) is reflexief dan en slechts dan als \(\mathrm{Id}(X)=\{(x,x)\mid x\in X\}\subset R\cap R^{-1}\);
- \(R\) is symmetrisch dan en slechts dan als \(R^{-1}= R\);
- \(R\) is antisymmetrisch dan en slechts dan als \(R\cap R^{-1}\subset \mathrm{Id}_X=\bigl\{(x,x)\mid x\in X\bigr\}\);
- \(R\) is transitief dan en slechts dan als \(R\circ R\subset R\).
Ontgrendel volledige toegang
