Functie

Stel \(X\) en \(Y\) zijn verzamelingen. Een functie van \(X\) naar \(Y\), ook wel afbeelding genoemd, is een relatie \(G_f\) van \(X\) naar \(Y\), ook wel de grafiek van \(f\) genoemd, met de volgende twee eigenschappen:

1. Voor iedere \(x\in X\) bestaat er een \(y\in Y\) zodanig dat \((x,y)\in G_f\);
2. Voor iedere \(x\in X\) en alle \(y,z\in Y\) geldt: als \((x,y)\in G_f\) en \((x,z)\in G_f\), dan \(y=z\).

Met andere woorden: een relatie \(f\) is een functie van \(X\) naar \(Y\), als voor elk element \(x\) van de verzameling \(X\) er precies één element \(y\) van \(Y\) is zodanig dat \((x,y)\) een element is van \(G_f\). Een functie wordt vaak gespecificeerd via een functievoorschrift; zie de voorbeelde

Als \((x,y)\in G_f\), dan noteren we dit gewoonlijk als \(y=f(x)\) en noemen we \(y\) het beeld van \(x\) onder \(f\) en \(x\) een origineel van \(y\) onder \(f\). We geven een functie \(f\) vaak aan met \(f:\;X\rightarrow Y\). De verzameling \(X\) wordt, net als bij elke relatie, het domein, van de functie \(f\) genoemd en soms genoteerd als \(D_f\); \(Y\) heet het codomein. Het bereik of volledig beeld van de functie \(f\) bestaat uit de verzameling van alle beelden onder \(f\). In plaats van \(\mathrm{ran}(f)\) schrijven we meestal \(\mathrm{im}(f)\) of \(B_f\).

Stel \(f:\;X\rightarrow Y\) een functie van \(X\) naar \(Y\) is en \(Z\subset Y\). Dan wordt het volledig origineel \(f^{-1}(Z)\) van \(Z\) onder \(f\) gedefinieerd als de verzameling \[f^{-1}(Z)=\{x\in X\mid f(x)\in Z\}\text.\]

Voorbeelden

\[\begin{aligned}&f:\;\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N},\\ &f(x)=\begin{cases} 0& \text{voor even }x\\ 1&\text{voor oneven }x\end{cases}\end{aligned}\] \[\begin{aligned}&g:\;\{a,b,c\}\rightarrow \{\alpha,\beta,\gamma\},\\ &g(a)=\alpha, g(b)=\beta, g(c)=\gamma\end{aligned}\] \[\begin{aligned}&h:\;\{a,\alpha,b\}\rightarrow \{A,B,C\},\\ &h(a)=A, h(\alpha)=A, h(b)=B, \end{aligned}\] \[\begin{aligned}&f:\;\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow \mathbb{R}\\ &f(x)=\frac{1}{x}\end{aligned}\] Maar in tegenstelling tot \(h\) is \[\begin{aligned}&g:\;\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ &g(x)=\frac{1}{x}\end{aligned}\] geen functie omdat het beeld van \(0\) niet goed gedefinieerd is via het voorschrift.

Gelijkheid van functies

Twee functie \(f\) en \(g\) zijn gelijk als ze over hetzelfde domein zijn gedefinieerd en voor iedere \(x\) in het domein geldt dat \(f(x)=g(x)\).
Met andere woorden, de functies \(f\) en \(g\) zijn gelijk dan en slechts dan als hun grafieken gelijk zijn, d.w.z. \(G_f=G_g\).

Soms wordt daarbij ook geëist dat het codomein van \(f\) en \(g\) gelijk aan elkaar zijn. Dit heeft bijvoorbeeld tot gevolg dat de functies \(f:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=|x|\) en \(g:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}, g(x)=|x|\) dan niet gelijk zijn.

Voorbeeld

\[\begin{aligned}&f:\;\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\\ &f(x)=\sin(2x)\end{aligned}\] en \[\begin{aligned}&g:\;\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\\ &g(x)=2\sin(x)\cos(x)\end{aligned}\] zijn gelijke functies, die op twee manieren gespecificeerd zijn.

Restrictie van een functie

Stel\(f:\;X\rightarrow Y\) is een functie van \(X\) naar \(Y\) en \(W\subset X\). De restrictie van \(f\) op \(W\) is de functie \(f{\restriction}_{W}:\; W\rightarrow Y\)gedefinieerd door \(f{\restriction}_W(x)=f(x)\) for all \(x\in W\). Met andere woorden, \(G_{f{\restriction}_W}=\bigl\{(x,y)\in f\mid x\in W\bigr\}\).

Het beeld van \(W\) onder \(f\) is \(\{f(x)\mid x\in W\bigr\}\).

Voorbeelden

\[\begin{aligned}&f:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\quad f(n)=\begin{cases} 0 &\text{als }n<0\\ 1&\text{als }n\ge 0\end{cases}\\[0.25cm]&\quad f{\restriction}_\mathbb{N}:\;\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}, \quad f{\restriction}_\mathbb{N}(n)=1\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}&g:\;\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\quad g(x)=\cos \pi x\\[0.25cm]&g{\restriction}_\mathbb{Z}:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}, \quad g{\restriction}_\mathbb{Z}(n)=(-1)^n\end{aligned}\]