Eigenschappen van functies

Naïeve verzamelingenleer: Functies

Eigenschappen van functies

Terminologie

Injectief, surjectief, bijectief

Een functie \(f\) van \(X\) naar \(Y\) heet:

injectief, een injectie, één-één-duidig, als iedere \(y\in\mathrm{im}(f)\) precies één origineel heeft: \[\text{Als }f(x_1)=f(x_2)\text{, dan }x_1=x_2\text.\] Injectiviteit van een functie is ook als volgt te definiëren: \[\text{Als }x_1\neq x_2\text{, dan }f(x_1)\neq f(x_2)\text.\]
surjectief, een surjectie, als het bereik van \(f\) de hele verzameling \(Y\) is: \[\mathrm{im}(f)=Y\text.\]
bijectief, een bijectie, als de functie \(f\) injectief én surjectief is.

Voorbeelden

We bekijken de volgende functies:

\(f:\;\{a,\alpha\}\rightarrow \{A,B\},\\f(a)=A, f(\alpha)=A\)
\(g:\;\{a,\alpha, b\}\rightarrow \{A,B\},\\g(a)=A, g(\alpha)=A,g(b)=B\)
\(h:\;\{a,b\}\rightarrow \{A,B,C\},\\h(a)=A, h(b)=B\)
Dan:
\(f\) is niet injectief en niet surjectief;
\(g\) is niet injectief, maar wel surjectief;
\(h\) is injectief, maar niet surjectief.
Geen van de functies \(f\), \(g\) en \(h\) is bijectief.

\(\varphi:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}, \varphi(n)=\begin{cases} 2n &\text{als }n\ge 0\\ -2n-1 &\text{als }n< 0\end{cases}\)
is een bijectie.

Alternatieve definities We kunnen injectiviteit, surjectiviteif en bijectiviteit van de functie \(f\) van \(X\) naar \(Y\) ook als volgt definiëren:

Als er een functie \(g\) van \(Y\) naar \(X\) bestaat zodanig dat \(g\circ f=\mathrm{id}_X\), dan is \(f\) injectief;
Als er een functie \(h\) van \(Y\) naar \(X\) bestaat zodanig dat \(f\circ h=\mathrm{id}_Y\), dan is \(f\) surjectief;
Als beide voorwaarden gelden, dan is \(f\) een bijectie en geldt \(g=h=f^{-1}\).

Stel dat \(f:\;X\rightarrow Y\) een functie van \(X\) naar \(Y\) is en dat \(g:\;Y\rightarrow Z\) een functie van \(Y\) naar \(Z\) is. Dan is de samenstelling \(g\circ f\) een functie van \(X\) naar \(Z\) en geldt:

Als \(f\) én \(g\) injectief zijn dan is \(g\circ f\) ook injectief;
Als \(f\) én \(g\) surjectief zijn dan is \(g\circ f\) ook surjectief;

Stel dat \(f\) én \(g\) injectief zijn en neem twee willekeurige elementen \(x_1\) en \(x_2\) in \(X\) zodanig dat \((g\circ f)(x_1)= (g\circ f)(x_2)\). Dus: \(g\bigl(f(x_1)\bigr)=g\bigl(f(x_1)\bigr)\). Maar, omdat \(g\) injectief is, moet dan gelden: \(f(x_1)=f(x_2)\). Omdat \(f\) ook injectief is, moet dan gelden: \(x_1=x_2\). Dus: \(g\circ f\) is injectief.

Stel dat \(f\) én \(g\) surjectief zijn en neem een willekeurig element \(z\) in \(Z\). Omdat \(g\) surjectief is bestaat er een \(y\in Y\) zodanig dat \(g(y)=z\). Omdat \(f\) surjectief is bestaat er een \(x\in X\) zodanig dat \(f(x)=y\). Maar dan: \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g(y)=z\) . Dus: \(g\circ f\) is surjectief.

Stel dat \(f:\;X\rightarrow U\) een functie van \(X\) naar \(U\) is en dat \(g:\;Y\rightarrow V\) een functie van \(Y\) naar \(W\) is. Dan kan de functie \((f\times g):\;X\times Y\rightarrow U\times V\) gedefinieerd worden door \((f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))\) voor \(x,y)\in X\times Y\) en geldt:

Als \(f\) én \(g\) injectief zijn, dan is \(f\times g\) ook injectief;
Als \(f\) én \(g\) surjectief zijn, dan is \(f\times g\) ook surjectief;

Stel dat \(f\) én \(g\) injectief zijn en neem twee willekeurige elementen \((x_1,y_1)\) en \((x_2, y_2)\) in \(X\times Y\) zodanig dat \((f\times g)(x_1,y_1)= (f\times g)(x_2,y_2)\). Dus: \(\bigl(f(x_1),g(y_1)\bigr)=g\bigl(f(x_2), g(y_2)\bigr)\). Dus: \(f(x_1)=f(x_2)\) én \(g(y_1)=f(y_2)\) Maar, omdat \(f\) én\(g\) injectief zijn, moet dan gelden: \(x_1=x_2\) én \(y_1=y_2\), en dus ook \(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\). Met andere woorden: \(f\times g\) is injectief.

Stel dat \(f\) én \(g\) surjectief zijn en neem een willekeurig element \((u,v)\) in \(Z\). Omdat \(f\) surjectief is bestaat er een \(x\in X\) zodanig dat \(f(x)=u\). Omdat \(g\) surjectief is bestaat er een \(y\in Y\) zodanig dat \(g(y)=v\). Maar dan: \((f\times g)(x,y)=g\bigl(f(x),g(y)\bigr)=(u,v)\). Dus: \(f\times g\) is surjectief.

Inverse functie

Inverse functie

Als \(f:\;X\rightarrow Y\) een bijectie is, dan is de inverse functie van \(f\) de bijectieve functie \(f^{-1}:\;Y\rightarrow X\) met \(G_{f^{-1}}=\bigl\{(y,x)\in Y\times X\mid (x,y)\in G_f\bigr\}\).

Voor de bijectieve functie \(f\) van \(X\) naar \(Y\) en de inverse functie \(f^{-1}\) van \(Y\) naar \(X\) geldt:

\(f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_X\);
\(f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y\).

Voorbeelden

De inverse functie van \(f:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\quad f(n)=n+1\) is \(f^{-1}:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\quad f^{-1}(n)=n-1\).

De inverse functie van \(g:\;[-1,1]\rightarrow [-1,1],\quad g(x)=x^3\) is \(g^{-1}:\;[-1,1]\rightarrow [-1,1],\quad g^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}\).

Het functievoorschrift van de inverse functie van
\(\varphi:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N},\quad \varphi(n)=\begin{cases} 2n &\text{als }n\ge 0\\ -2n-1 &\text{als }n< 0\end{cases}\)
is
\(\varphi^{-1}(m)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}m &\text{voor even }m\\ -\tfrac{1}{2}(m+1) &\text{voor oneven }m\end{cases}\)