Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende

Theorie Het begrip tweedegraadsfunctie en parabool

Een tweedegraadsvergelijking of kwadratische vergelijking in de onbekende \(x\) heeft een basisvorm \[ax^2+bx+c=0\] waarin \(a\), \(b\) en \(c\) gegeven getallen zijn en \(a\neq 0\). Het linkerlid van deze vergelijking kunnen we ook opvatten als een functievoorschrift van een functie. Deze functie noemen we een tweedegraadsfunctie of kwadratische functie. Oplossingen van de kwadratische vergelijkingen zijn dus de nulpunten van de bijpassende kwadratische functie. De grafiek van een kwadratische functie heet een parabool. Een oplossingen van de kwadratische vergelijking is dus de \(x\)-coördinaat van een snijpunt van de bijpassende parabool met de \(x\)-as.

Definitie en basisvorm van een kwadratische functie

Een tweedegraadsfunctie of kwadratische functie in de onbekende \(x\) heeft een functievoorschrift dat herleid kan worden tot de standaardvorm \[f(x)=ax^2+bx+c\] waarin \(a\), \(b\) en \(c\) gegeven getallen zijn en \(a\neq 0\).

In de voorbeelden aan de rechterkant is het functievoorschrift van een en dezelfde kwadratische functie \(f(x)\) op verschillende manieren opgeschreven.

Voorbeelden

\[\begin{aligned}f(x) &= x^2+3x+2\\[0.25cm] f(x)&=(x+\tfrac{3}{2})^2-\tfrac{1}{4}\\[0.25cm]
f(x)&=(x+1)(x+2)\end{aligned}\]

De grafiek van een kwadratische functie

De grafiek van een kwadratische functie heet een parabool. Deze bestaat uit de punten \((x,y)\) in het vlak waarvoor \(y=ax^2+bx+c\).

Als \(a>0\), dan is de grafiek een dalpa‍rabool.

Als \(a<0\), dan is de grafiek een bergpa‍rabool.

Onderstaande grafieken illustreren deze benaming.

parabolen.png

In de figuur rechts kunnen andere voorbeelden bekeken worden door de schuifbalken naar wens in te stellen

Een dalparabool heeft een minimum en een bergparabool heeft een maximum. In beide gevallen noemen we dit de top van de parabool.
De \(x\)-coördinaat van de top is gelijk aan \(\displaystyle \frac{-b}{2a}\).

Elke parabool heeft ook een symmetrieas, namelijk de verticale lijn door de top die de parabool scheidt in twee helften die in een bepaalde zin elkaars spiegelbeeld zijn.

In bovenstaande twee voorbeelden hebben de parabolen twee punten gemeen met de horizontale as. Dit heten de nulpunten of wortels van de kwadratische functie.

Een parabool heeft 0, 1 of 2 nulpunten.

GeoGebra

Meetkundige definitie

Er bestaat ook een meetkundige definitie van een parabool m.b.v. een brandpunt \(F(p,q)\) en een richtlijn \(y=r\).

De parabool is de verzameling punten in het vlak met gelijke afstand tot het brandpunt en de richtlijn.

Een punt \((x,y)\) ligt op de parabool als \[(x-p)^2+(y-q)^2=(y-r)^2\]

Bij de parabool met basisvorm \(y=ax^2+bx+c\) en discriminant \(D=b^2-4ac\) kunnen de coördinaten van het brandpunt en een vergelijking van de richtlijn bepaald worden: \[\text{brandpunt: }\left(-\frac{b}{2a}, \frac{-D+1}{4a}\right)\text{ en richtlijn: }y= \frac{-D-1}{4a}\]

GeoGebra


#\phantom{x}#

Mathcentre video clips

Polynomial Functions (42:54)

About us ⋅ Privacy ⋅ Terms and conditions
Copyright © 2022 SOWISO B.V.