Kwadratische vergelijkingen in vermomming

Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende

Kwadratische vergelijkingen in vermomming

Soms kun je een vergelijking die niets te maken lijkt te hebben met een tweedegraadsvergelijking door een truc tot een kwadratische vergelijking terugbrengen. Enkele voorbeelden illustreren trucs als substitutie, kwadratering, gevalsonderscheiding en herleiding.

Vind de exacte reële oplossingen van onderstaande vergelijking.

$x^4-1=0$

$x=1\quad\lor\quad x=-1$

$x^4-1=0$ is een vierdegraadsvergelijking, maar door $y=x^2$ te stellen, wordt het een tweedegraadsvergelijking in $y$ :

$y^2-1=0$ Ontbinding in factoren door inspectie leidt tot de volgende vergelijking in $y$

$(y-1)(y+1)=0$ met als oplossingen

$y=1\quad\vee\quad y=-1$ Maar omdat $y=x^2$ is en een kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, levert $y=-1$ geen oplossingen op. Wat overblijft is de vergelijking $x^2=1$ met twee oplossingen:

$x=\pm 1$

Nieuw voorbeeld