\(x<-4 \lor x > 1\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2-4 > -3 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-4 = -3 x \) oftwel \( x^2+3 x-4 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{-3\pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot -4}}{2}\\ \\ &=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}\\ \\ &=\frac{-3\pm 5}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-4\quad \text{of}\quad x=1\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-4\), bijvoorbeeld \(x=-6\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-6)^2-4=32\] Het rechterlid heeft als waarde \[-3 \cdot -6=18\] dus voor \(x<-4\) geldt dat \(x^2-4 > -3 x\). Nu kiezen we een waarde \(-4<x<1\), bijvoorbeeld \(x=-3\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(-3)^2-4=5\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[-3\cdot -3=9\] Dus voor \(-4<x<1\) is \(x^2-4 < -3 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>1\), bijvoorbeeld \(x=2\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(2)^2-4=0\] en het rechterlid heeft de waarde \[-3 \cdot 2=-6\] Dus voor \(x>1\) is \(x^2-4>-3 x\). We weten nu dus dat \[x^2-4 > -3 x\] als \(x<-4\) of \(x>1\).