Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsongelijkheden met één onbekende
Oplossen van tweedegraadsongelijkheden via <i>abc</i>-formule en inspectie
Een tweedegraadsongelijkheid kun je oplossen door
- eerst de bijpassende tweedegraadsvergelijking op te lossen;
- daarna uit te zoeken in welke gebied aan de ongelijkheid wel of niet voldaan is;
- tot slot de tussenresultaten te bundelen.
\(x<-4 \lor x > 6\)
We hebben de ongelijkheid \[x^2-24 > 2 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-24 = 2 x \) oftwel \( x^2-2 x-24 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{2\pm \sqrt{(2)^2-4 \cdot 1 \cdot -24}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm 10}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-4\quad \text{of}\quad x=6\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-4\), bijvoorbeeld \(x=-6\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-6)^2-24=12\] Het rechterlid heeft als waarde \[2 \cdot -6=-12\] dus voor \(x<-4\) geldt dat \(x^2-24 > 2 x\). Nu kiezen we een waarde \(-4<x<6\), bijvoorbeeld \(x=-3\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(-3)^2-24=-15\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[2\cdot -3=-6\] Dus voor \(-4<x<6\) is \(x^2-24 < 2 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>6\), bijvoorbeeld \(x=7\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(7)^2-24=25\] en het rechterlid heeft de waarde \[2 \cdot 7=14\] Dus voor \(x>6\) is \(x^2-24>2 x\). We weten nu dus dat \[x^2-24 > 2 x\] als \(x<-4\) of \(x>6\).
We hebben de ongelijkheid \[x^2-24 > 2 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-24 = 2 x \) oftwel \( x^2-2 x-24 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{2\pm \sqrt{(2)^2-4 \cdot 1 \cdot -24}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm \sqrt{100}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm 10}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-4\quad \text{of}\quad x=6\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-4\), bijvoorbeeld \(x=-6\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-6)^2-24=12\] Het rechterlid heeft als waarde \[2 \cdot -6=-12\] dus voor \(x<-4\) geldt dat \(x^2-24 > 2 x\). Nu kiezen we een waarde \(-4<x<6\), bijvoorbeeld \(x=-3\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(-3)^2-24=-15\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[2\cdot -3=-6\] Dus voor \(-4<x<6\) is \(x^2-24 < 2 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>6\), bijvoorbeeld \(x=7\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(7)^2-24=25\] en het rechterlid heeft de waarde \[2 \cdot 7=14\] Dus voor \(x>6\) is \(x^2-24>2 x\). We weten nu dus dat \[x^2-24 > 2 x\] als \(x<-4\) of \(x>6\).
Ontgrendel volledige toegang