\(x<-1 \lor x > 4\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2-4 > 3 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-4 = 3 x \) oftwel \( x^2-3 x-4 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{3\pm \sqrt{(3)^2-4 \cdot 1 \cdot -4}}{2}\\ \\ &=\frac{3\pm \sqrt{25}}{2}\\ \\ &=\frac{3\pm 5}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-1\quad \text{of}\quad x=4\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-1\), bijvoorbeeld \(x=-3\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-3)^2-4=5\] Het rechterlid heeft als waarde \[3 \cdot -3=-9\] dus voor \(x<-1\) geldt dat \(x^2-4 > 3 x\). Nu kiezen we een waarde \(-1<x<4\), bijvoorbeeld \(x=0\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(0)^2-4=-4\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[3\cdot 0=0\] Dus voor \(-1<x<4\) is \(x^2-4 < 3 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>4\), bijvoorbeeld \(x=5\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(5)^2-4=21\] en het rechterlid heeft de waarde \[3 \cdot 5=15\] Dus voor \(x>4\) is \(x^2-4>3 x\). We weten nu dus dat \[x^2-4 > 3 x\] als \(x<-1\) of \(x>4\).