$x<1 \lor x > 6$

We hebben de ongelijkheid $$x^2+6 > 7 x$$ maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: $x^2+6 = 7 x$ oftwel $x^2-7 x+6 =0$. Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
$$\begin{aligned} x&=\frac{7\pm \sqrt{(7)^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2}\\ \\ &=\frac{7\pm \sqrt{25}}{2}\\ \\ &=\frac{7\pm 5}{2}\end{aligned}$$ Dus: $$x=1\quad \text{of}\quad x=6$$ Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde $x<1$, bijvoorbeeld $x=-1$. Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: $$(-1)^2+6=7$$ Het rechterlid heeft als waarde $$7 \cdot -1=-7$$ dus voor $x<1$ geldt dat $x^2+6 > 7 x$. Nu kiezen we een waarde $1<x<6$, bijvoorbeeld $x=2$. Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde $$(2)^2+6=10$$ Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde $$7\cdot 2=14$$ Dus voor $1<x<6$ is $x^2+6 < 7 x$. Nu kiezen we nog een waarde $x>6$, bijvoorbeeld $x=7$. Dan heeft het linkerlid de waarde $$(7)^2+6=55$$ en het rechterlid heeft de waarde $$7 \cdot 7=49$$ Dus voor $x>6$ is $x^2+6>7 x$. We weten nu dus dat $$x^2+6 > 7 x$$ als $x<1$ of $x>6$.