Repeterende decimale breuken

Rekenen met getallen: Decimale getallen

Repeterende decimale breuken

Een decimaal getal hebben we geïntroduceerd door een eindig aantal cijfers met een decimale punt hierin die volgens het tientallige getallenstelsel een breuk representeren. Maar met een eindig aantal cijfers kun je zo niet elke breuk opschrijven; daarvoor heb je het begrip repeterende decimale breuk nodig.

Repeterende decimale breuk

Een repeterende decimale breuk is een breuk die niet in een eindige decimale notatie op te schrijven is, maar wel als een oneindige cijferreeks waarin repeterend gedeelte voorkomt.

In de normale schrijfwijze wordt een repeterende decimale breuk afgerond. Een andere schrijfwijze is die waarbij men een streep zet door het eerste cijfer van het repeterende gedeelte en door het laatste.

Voorbeelden

$\begin{aligned}\frac{4}{3}&\approx 1.667\\ &=1.66666\ldots\\&=1{.}\!\!\not\!6\\\\\frac{69}{70}&\approx 0.9857\\ &=0{.}9\overbrace{857142}\overbrace{857142}\ldots\\[0.25cm] &=0.9\!\!\not\!85714\!\!\not\!2\end{aligned}$

Wat bedoelen we precies als we schrijven $\frac{7}{6}=1.1\!\!\not\!6$ ?
Het eenvoudigste antwoord is een oneindig groot schema waarvan hieronder een stukje is opgeschreven $\begin{aligned} 1\le &\frac{7}{6} \le 2\\ 1.1\le &\frac{7}{6} \le 1.2\\ 1.16\le &\frac{7}{6} \le 1.67\\ 1.166\le &\frac{7}{6} \le 1.667 \\ 1.1666\le &\frac{7}{6} \le 1.6667\\\ldots\,&..\ldots\end{aligned}$
In meer wiskundige zin wordt een repeterende decimale breuk opgevat als een reeks: $1.1\!\!\not\!6=1.1+0.06+0.006+0.0006+\cdots =1.1+6\sum_{k=2}^{\infty}10^{-k}$

Alternatieve notaties Het repeterende gedeelte van een repeterende decimale breuk wordt ook wel aangeduid met een streep erboven of eronder, of door het tussen rechte haken te zetten. $\begin{aligned} 0.9\!\!\not\!85714\!\!\not\!2 &= 0.9\underline{857142} \\[0.25cm] &= 0.9\overline{857142}\\[0.25cm] &= 0.9[857142]\end{aligned}$

Breuken met twee repeterende decimale schrijfwijzen Breuken waarvan de noemer geen andere delers heeft dan $1$ , $2$ en $5$ kunnen op twee manieren als repeterende decimale breuk geschreven worden: met een staart van enkel nullen en met een staart van enkel negens. Bijvoorbeeld $\begin{aligned}\frac{33}{20}=1.65&=1.65000000\ldots =1.65\!\!\not\!0\\&=1.64999999\ldots =1.64\!\!\not\!9\end{aligned}$

Bij elk rationaal getal hoort op zijn minst één repeterende decimale breuk, en omgekeerd hoort bij elke repeterende decimale breuk een rationaal getal.

Als voorbeeld schrijven we $0{.}\!\!\not\!56\!\!\not\!7$ als een rationaal getal.

Stel $0{.}\!\!\not\!56\!\!\not\!7=x$ , dan is $1000x=567{.}\!\!\not\!56\!\!\not\!7$ .
Dan geldt dat $1000x-x=567$ omdat de repeterende gedeelte tegen elkaar wegvallen.
Met andere woorden $999x=567$ , oftewel $x=567\div 999$ . Dus: $0{.}\!\!\not\!56\!\!\not\!7=\frac{567}{999}$

Als er ook nog een niet-repeterend gedeelte is, dan moet er omgerekend worden. Bijvoorbeeld: $\begin{aligned}1.234\!\!\not\!56\!\!\not\!7&=1.234+0.000\!\!\not\!56\!\!\not\!7\\[0.25cm] &=1.234+\frac{0{.}\!\!\not\!56\!\!\not\!7}{1000}\\[0.25cm] &= \frac{1234}{1000}+\frac{567}{999000} \\[0.25cm] &=\frac{1232766}{999000}+\frac{567}{999000}\\[0.25cm] &= \frac{1233333}{999000} \\[0.25cm] &= \frac{45679}{37000}\end{aligned}$