Rekenen met letters: Breuken met letters
Breuken met letters vereenvoudigen
Net zoals breuken met getallen soms vereenvoudigd kunnen worden, is dit soms ook mogelijk bij breuken met variabelen. Als de teller en de noemer een gemeenschappelijke deler hebben, dan kan je hier door delen. Dat kan een getal zijn maar ook een uitdrukking met variabelen.
Herschrijven van breuken
Een breuk wordt herleid tot een gelijkwaardige breuk wanneer je teller en noemer
- met hetzelfde getal ongelijk aan nul vermenigvuldigt;
- met dezelfde algebraïsche uitdrukking vermenigvuldigt;
- door hetzelfde getal ongelijk aan nul deelt;
- door dezelfde algebraïsche uitdrukking deelt.
Voorbeelden
\[\begin{aligned}\\[-0.3cm]\frac{2x+1}{4x+3}&=\frac{4x+2}{8x+6}\\[0.4cm] \frac{x}{y}&=\frac{xz}{yz}\\[0.4cm] \frac{6x+3}{3x+3}&=\frac{2x+1}{x+1}\\[0.4cm]\frac{x-1}{x^2-1}&=\frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\[0.25cm] &=\frac{1}{x+1}\end{aligned}\]
In het laatste voorbeeld zit er een addertje onder het gras: dit gaat alleen goed wanneer de uitdrukking waardoor je wilt delen ongelijk aan 0 is. Om precies te zijn moet je hier dus schrijven: \[\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}\quad\text{als}\quad x\ne -1\] Maar deze voorwaarde valt binnen voorwaarden die je aan de uitdrukking \(\frac{x-1}{x^2-1}\) aan de linkerkant kunt stellen, namelijk \(x\neq\pm 1\).
Nog twee van dergelijke voorbeelden:
Twee voorbeelden \[\begin{aligned}\frac{a-b}{a^2-b^2}=\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}\;& =\frac{1}{a+b}\quad\mathrm{als}\quad a\ne b\\ \\ \\ \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}&=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2+b^2)}\\ \\ &= \frac{a^2-b^2}{a+b}\\ \\ &= \frac{(a-b)(a+b)}{a+b}\\ \\ &= a-b \quad\mathrm{als}\quad a+b\ne 0\;\;\mathrm{en}\;\;a^2+b^2\ne 0\end{aligned}\]
Mathcentre video
Simplification of Algebraic Fractions (17:33)
