Elementaire combinatoriek: Sommatie- en productteken
Sommatieteken
Stippeltjes-notatie Een klein aantal wiskundige termen kun je gemakkkelijk bij elkaar optellen met het somteken \(+\). Maar in veel problemen komen sommaties voor waarbij veel termen bij elkaar opgeteld moeten worden. Bijvoorbeeld de som van de natuurlijke getallen 1 t/m 64 of de som van eerste 8 kwadraten. Dit kan je natuurlijk suggestief noteren als \[1+2+3+\ldots+63+64=2080\] en \[1+4+16+\ldots+47+64=204\] Maar we hebben hier niet voor niets veel termen in de uitdrukking opgenomen. Bij \[1+2+\ldots+64\] is het al onduidelijk of je de som bedoeld van de getallen 1 t/m 64 of de je eigenlijk de som \[1+2+4+8+16+32+64=126\] bedoeld, waarbij elke term tweemaal de vorige term is. De notatie \[1+4+\ldots 64\] hoeft natuurlijk niet de som van de eerste 8 kwadraten aan te duiden, maar zou ook kun staan voor \[1+4+16+64=85\] waarbij elke term viermaal de vorige term is. Vind je deze voorbeelden wat gekunsteld, wat denk je dan dat \[3+5+7+\ldots 17\] betekent? De som van de oneven getallen \[3+5+7+9+11+13+15+17\] of de som van priemgetallen \[3+5+7+11+13+17\text?\]
Sigma-notatie (informeel) In wiskunde heb je een preciezere somnotatie nodig dan `stippeltjes zetten' en dat is de sigma-notatie. Het van de Griekse hoofdletter \(\Sigma\) afgeleide symbool \(\sum\), dat uitgesproken wordt als ``sigma'', wordt gebruikt om aan te geven dat je termen bij elkaar optelt; het is sommatieteken. Een zogenaamde sommatie-index loopt daarbij over de verschillende termen: de som van de natuurlijke getallen 1 t/m 64 wordt dan\(\displaystyle\sum_{i=1}^{64} i\). We lezen dit als ``de som van \(i\) waarbij \(i\) loopt van \(1\) t/m \(64\)'' of als `` de som van \(i\) voor \(i=1\) t/m \(i=64\)''. Het patroon is nu duidelijk opgeschreven en \(\displaystyle\sum_{i=1}^{66} i=2080\). De som van de eerste 8 kwadraten wordt in de sigma-notatie aangeduid met \(\displaystyle\sum_{i=1}^{8} i^2\) en is gelijk aan \(204\) omdat ``de som van \(i^2\) voor \(i=1\) t/m \(i=8\)'' inderdaad aan dit getal gelijk is.
Voorbeeld 1 De som \[2+3+4+5+6+7+8+9+10\] kun je verkort opschrijven als \[ \sum_{i=2}^{10} i\] maar ook als \[\sum_{j=1}^{9} (j+1)\] of als \[\sum_{j=4}^{12} (j-2)\] De sigma-notatie voor een zekere som is dus niet uniek.
Voorbeeld 2 Als we 10 getallen hebben die we aanduiden met \(a_0,a_1,a_2,\ldots, a_9\), dan noteren we de som van deze getallen als \[\sum_{i=0}^{9} a_i=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_8+a_9\] We lezen dit als ``de som van de termen \(a_i\) waarbij (de sommatie-index) \(i\) gaat van \(0\) t/m \(9\)''.
Sigma-notatie (formeel) Voor elk natuurlijk getal \(n\) en \(a_0, a_1,\ldots,, a_n\) wiskundige objecten waarvoor optelling gedefinieerd is (bijvoorbeeld reële getallen) definiëren we: \[\sum_{i=0}^n a_i=a_0+a_1+a_2+\ldots a_n\] Meer algemeen voor natuurlijke getallen \(m\le n\): \[\sum_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots a_n\] We lezen dit als ``de som van de termen \(a_i\) waarbij (de sommatie-index) \(i\) gaat van \(m\) t/m \(n\)''. Hierbij is \(a_i\) de algemene term, \(i\) de sommatie-index, \(m\) de ondergrens en \(n\) de bovengrens van de sommatie.
