Sommatieteken

Elementaire combinatoriek: Sommatie- en productteken

Sommatieteken

Een klein aantal wiskundige termen kun je gemakkkelijk bij elkaar optellen met het somteken $+$ . Maar in veel problemen komen sommaties voor waarbij veel termen bij elkaar opgeteld moeten worden. Bijvoorbeeld de som van de natuurlijke getallen 1 t/m 64 of de som van eerste 8 kwadraten. Dit kan je natuurlijk suggestief noteren als $1+2+3+\ldots+63+64=2080$ en $1+4+16+\ldots+47+64=204$ Maar we hebben hier niet voor niets veel termen in de uitdrukking opgenomen. Bij $1+2+\ldots+64$ is het al onduidelijk of je de som bedoeld van de getallen 1 t/m 64 of de je eigenlijk de som $1+2+4+8+16+32+64=126$ bedoeld, waarbij elke term tweemaal de vorige term is. De notatie $1+4+\ldots 64$ hoeft natuurlijk niet de som van de eerste 8 kwadraten aan te duiden, maar zou ook kun staan voor $1+4+16+64=85$ waarbij elke term viermaal de vorige term is. Vind je deze voorbeelden wat gekunsteld, wat denk je dan dat $3+5+7+\ldots 17$ betekent? De som van de oneven getallen $3+5+7+9+11+13+15+17$ of de som van priemgetallen $3+5+7+11+13+17\text?$

In wiskunde heb je een preciezere somnotatie nodig dan `stippeltjes zetten' en dat is de sigma-notatie. Het van de Griekse hoofdletter $\Sigma$ afgeleide symbool $\sum$ , dat uitgesproken wordt als ``sigma'', wordt gebruikt om aan te geven dat je termen bij elkaar optelt; het is sommatieteken. Een zogenaamde sommatie-index loopt daarbij over de verschillende termen: de som van de natuurlijke getallen 1 t/m 64 wordt dan $\displaystyle\sum_{i=1}^{64} i$ . We lezen dit als ``de som van $i$ waarbij $i$ loopt van $1$ t/m $64$ '' of als `` de som van $i$ voor $i=1$ t/m $i=64$ ''. Het patroon is nu duidelijk opgeschreven en $\displaystyle\sum_{i=1}^{66} i=2080$ . De som van de eerste 8 kwadraten wordt in de sigma-notatie aangeduid met $\displaystyle\sum_{i=1}^{8} i^2$ en is gelijk aan $204$ omdat ``de som van $i^2$ voor $i=1$ t/m $i=8$ '' inderdaad aan dit getal gelijk is.

De som $2+3+4+5+6+7+8+9+10$ kun je verkort opschrijven als $\sum_{i=2}^{10} i$ maar ook als $\sum_{j=1}^{9} (j+1)$ of als $\sum_{j=4}^{12} (j-2)$ De sigma-notatie voor een zekere som is dus niet uniek.

Als we 10 getallen hebben die we aanduiden met $a_0,a_1,a_2,\ldots, a_9$ , dan noteren we de som van deze getallen als $\sum_{i=0}^{9} a_i=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_8+a_9$ We lezen dit als ``de som van de termen $a_i$ waarbij (de sommatie-index) $i$ gaat van $0$ t/m $9$ ''.

Voor elk natuurlijk getal $n$ en $a_0, a_1,\ldots,, a_n$ wiskundige objecten waarvoor optelling gedefinieerd is (bijvoorbeeld reële getallen) definiëren we: $\sum_{i=0}^n a_i=a_0+a_1+a_2+\ldots a_n$ Meer algemeen voor natuurlijke getallen $m\le n$ : $\sum_{i=m}^n a_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots a_n$ We lezen dit als ``de som van de termen $a_i$ waarbij (de sommatie-index) $i$ gaat van $m$ t/m $n$ ''. Hierbij is $a_i$ de algemene term, $i$ de sommatie-index, $m$ de ondergrens en $n$ de bovengrens van de sommatie.

Alternatieve notatie Soms kom je in teksten i.p.v $\displaystyle\sum_{i=m}^n a_i$ de uitdrukking $\sum\!\!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\sum}_{i=m}^n a_i$ of $\displaystyle\sum_{m\le i \le n} a_i$ tegen. In de laatste notatie wordt een eigenschap waaraan de sommatie-index moet voldoen opgeschreven. Op deze maniier kun je ook de som van alle delers $d$ van een getal $n$ noteren, namelijk als $\displaystyle\sum_{d|n} d$ .

letterkeuze Welke sommatie-index je gebruikt is eigen keuze: $\displaystyle\sum_{i=m}^n a_i=\sum_{k=m}^n a_k$ .