Elementaire combinatoriek: Sommatie- en productteken
Productteken
Een som met veel termen kan op een bondige manier geschreven worden m.b.v. het sommatieteken. Evenzo kan een product met veel factoren op een korte manier geschreven worden m.b.v. het productteken \(\prod\), afkomstig van de Griekse hoofdletter pi. \[\prod_{i=m}^{n}a_i=a_m\cdot a_{m+1}\cdots a_{n-1}\cdot a_n\] Hier wordt het product van wiskundige objecten bedoeld waarbij de vermenigvuldigingsindex \(i\) telkens met één eenheid verhoogd wordt, startend bij \(i=m\) en eindigend bij \(i=n\).
Voorbeeld 1
\(\displaystyle\prod_{n=1}^4n= 1\times 2\times 3\times 4 = 24\)
Voorbeeld 2
\(\displaystyle\prod_{k=0}^3(x-k)= x(x-1)(x-2)(x-3)\)
Voorbeeld 3 Het meetkundig gemiddelde \(\mu\) van \(n\) getallen \(a_1, a_2,\ldots, a_n\) is gedefinieerd als de \(n\)-de machtswortel van het product van deze \(n\) getallen. In formulevorm: \[\mu=\left(\prod_{i=1}^{n}a_i\right)^{\frac{1}{n}}\!\!=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\]
De eigenschappen van het productteken zijn vergelijkbaar met die van het somteken.
Productregel \[\prod_{i=m}^{n} (a_i\cdot b_i)=\left(\prod_{i=m}^{n} a_i\right)\cdot \left(\prod_{i=m}^{n}b_i\right)\]
Constante factorregel \[\prod_{i=m}^{n} (c\cdot a_i)=c^{m-n+1}\cdot\prod_{i=m}^{n} a_i\] voor zekere constante \(c\).
Verandering van grenzen en index \[\prod_{i=m}^{n} a_i= \sum_{j=m+r}^{n+r}a_{j-r}\] voor zeker geheel getal \(r\), waarbij we de product-index \(i\) vervangen hebben door \(j\) via \(j=i+r\).
Commutativiteitsregel \[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m} a_{ij}=\prod_{j=1}^{m}\prod_{i=1}^{n} a_{ij}\] waarbij we hier een dubbele index \(ij\) gebruikt hebben.
