Elementaire combinatoriek: Faculteit en binomiaalcoëfficiënt
Binomiaalcoëfficiënt
De binomiaalcoëfficiënt \(\boldsymbol{n}\) boven \(\boldsymbol{k}\), genoteeerd als \(\binom{n}{k}\), van twee natuurlijke getallen \(n\) en \(k\) met \(k\le n\) is gedefinieerd als \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
Trekking zonder teruglegging en zonder volgorde Het aantal manieren waarom men uit \(n\) verschillende objecten er zonder terugleggen \(k\) kan kiezen en waarbij de volgorde van kiezen geen rol speelt is gelijk aan de binomiaalcoëfficiënt \(\binom{n}{k}\). Zo'n mogelijke keuze heet combinatie, trekking of greep. Kortweg zeggen we dat het aantal combinaties van \(\boldsymbol{k}\) uit \(\boldsymbol{n}\) gelijk is aan \(\binom{n}{k}\). Dit jargon verklaart ook de alternatieve notaties \(C^n_k\) en \({}^{n}C_{k}\), alsmede en de naam van de rekenmachineknop/functie nCr
om het aantal combinaties van \(r\) uit \(n\) te berekenen.
Trekking zonder teruglegging en met volgorde Het aantal manieren waarom men uit \(n\) verschillende objecten er zonder terugleggen \(k\) kan kiezen maar waarbij wel de volgorde van kiezen een rol speelt is gelijk aan \[\binom{n}{k}\cdot k! = \dfrac{n!}{(n-k)!}= n(n-1)\cdots (n-k+1)\text.\] We noemen dit ook wel het aantal variaties van \(\boldsymbol{k}\) uit \(\boldsymbol{n}\).
Trekking met teruglegging en zonder volgorde Het aantal manieren waarom men uit \(n\) verschillende objecten er \(k\) kan kiezen maar wel na elke trekking het gekozen object wordt teruggelegd en de volgorde van kiezen geen rol speelt is gelijk aan \(\binom{n+k-1}{k}\). We noemen dit ook wel het aantal herhalingscombinaties van \(\boldsymbol{k}\) uit \(\boldsymbol{n}\).
Trekking met teruglegging en met volgorde Voor de volledigheid vermelden we dat het aantal manieren waarom men uit \(n\) verschillende objecten er \(k\) kan kiezen maar wel na elke trekking het gekozen object wordt teruggelegd en de volgorde van kiezen wel een rol speelt is gelijk aan \(n^k\). We noemen dit ook wel het aantal herhalingsvariaties van \(\boldsymbol{k}\) uit \(\boldsymbol{n}\).