Elementaire combinatoriek: Faculteit en binomiaalcoëfficiënt
Het binomium van Newton
We kennen het merkwaardige product \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] Laten we \((a+b)^3\) en \((a+b)^4\) ook eens uitwerken.
Formules voor derde en vierde macht van (a+b) \[\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)^2 & \\[0.25cm] &= (a+b)(a^2+2ab+b^2) &\blue{\text{merkwaardig product}}\\[0.25cm]&= a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2) & \\[0.25cm]&=a^3+2a^2b+\phantom{2}ab^2 & \\[0.1cm] &\phantom{=a^3\,\,}+\phantom{2}a^2b+2ab^2 + b^3 & \\[0.25cm] &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 & \\[0.5cm] (a+b)^4 &= (a+b)(a+b)^3 & \\[0.25cm] &=(a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) &\blue{\text{formule voor }(a+b)^3}\\[0.25cm]&=\phantom{+}\!a(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) & \\[0.1cm] &\phantom{=}+b(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) &\\[0.25cm]&=a^4+3a^3b+3a^2b^2+\phantom{3}ab^3 & \\[0.1cm] &\phantom{=a^4\,\,}+\phantom{3}a^3b+3a^2b^2 + 3ab^3 +b^4& \\[0.25cm] &= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4& \end{aligned}\]
Misschien herken je in de formules \[\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\[0.25cm] (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[0.25cm] (a+b)^4&= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{aligned}\]met de termen systematisch gerangschikt naar dalende machten van \(a\) en stijgende machten van \(b\) al wel een patroon. De gehele getallen die ervoor staan komen uit de driehoek van Pascal: \[\blue{\begin{array}{lccccccccccccc}
n=0\rightarrow\phantom{abc} &&&&&&&1&&&&&&\\[0.2cm]
n=1\rightarrow\phantom{abc} &&&&&&1&&1&&&&&\\[0.2cm]
n=2\rightarrow\phantom{abc} &&&&&1&&2&&1&&&&\\[0.2cm]
n=3\rightarrow\phantom{abc} &&&&1&&3&&3&&1&&&\\[0.2cm]
n=4\rightarrow\phantom{abc} &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\[0.2cm]
n=5\rightarrow\phantom{abc} &&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\[0.2cm]
n=6\rightarrow\phantom{abc} &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\[0.2cm]
\ldots &&&&&&&\ldots&&&&&&&
\end{array}}\] Het zijn binomiaalcoëfficiënten! Er geldt dus de volgende rekenregel, die bekend staat als het binomium van Newton.
Het binomium van Newton Voor alle getallen \(a, b\) en \(n\in\mathbb{N}\) geldt: \[\begin{aligned} (a+b)^n&=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^{n}\\[0.25cm] &= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\end{aligned}\]
Gevolg 1 Kies voor \(a=b=1\) in het binomium van Newton en je krijgt: \[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\]
Gevolg 1 Kies \(a=x, b=1\) in het binomium van Newton en je krijgt: \[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k=(1+x)^n\] Wanneer je beide kanten van de gelijkheid differentieert naa \(x\), dan krijg je \[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}kx^{k-1}=n(1+x)^{n-1}\] Invullen van \(x=1\) levert de volgende gelijkheid op: \[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k=n2^{n-1}=\tfrac{1}{2}n\,2^n\]
