Het binomium van Newton

Elementaire combinatoriek: Faculteit en binomiaalcoëfficiënt

Het binomium van Newton

We kennen het merkwaardige product $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Laten we $(a+b)^3$ en $(a+b)^4$ ook eens uitwerken.

$\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)^2 & \\[0.25cm] &= (a+b)(a^2+2ab+b^2) &\blue{\text{merkwaardig product}}\\[0.25cm]&= a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2) & \\[0.25cm]&=a^3+2a^2b+\phantom{2}ab^2 & \\[0.1cm] &\phantom{=a^3\,\,}+\phantom{2}a^2b+2ab^2 + b^3 & \\[0.25cm] &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 & \\[0.5cm] (a+b)^4 &= (a+b)(a+b)^3 & \\[0.25cm] &=(a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) &\blue{\text{formule voor }(a+b)^3}\\[0.25cm]&=\phantom{+}\!a(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) & \\[0.1cm] &\phantom{=}+b(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) &\\[0.25cm]&=a^4+3a^3b+3a^2b^2+\phantom{3}ab^3 & \\[0.1cm] &\phantom{=a^4\,\,}+\phantom{3}a^3b+3a^2b^2 + 3ab^3 +b^4& \\[0.25cm] &= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4& \end{aligned}$

Misschien herken je in de formules $\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\[0.25cm] (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[0.25cm] (a+b)^4&= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{aligned}$ met de termen systematisch gerangschikt naar dalende machten van $a$ en stijgende machten van $b$ al wel een patroon. De gehele getallen die ervoor staan komen uit de driehoek van Pascal: $\blue{\begin{array}{lccccccccccccc} n=0\rightarrow\phantom{abc} &&&&&&&1&&&&&&\\[0.2cm] n=1\rightarrow\phantom{abc} &&&&&&1&&1&&&&&\\[0.2cm] n=2\rightarrow\phantom{abc} &&&&&1&&2&&1&&&&\\[0.2cm] n=3\rightarrow\phantom{abc} &&&&1&&3&&3&&1&&&\\[0.2cm] n=4\rightarrow\phantom{abc} &&&1&&4&&6&&4&&1&&\\[0.2cm] n=5\rightarrow\phantom{abc} &&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\[0.2cm] n=6\rightarrow\phantom{abc} &1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\[0.2cm] \ldots &&&&&&&\ldots&&&&&&& \end{array}}$ Het zijn binomiaalcoëfficiënten! Er geldt dus de volgende rekenregel, die bekend staat als het binomium van Newton.

Voor alle getallen $a, b$ en $n\in\mathbb{N}$ geldt: $\begin{aligned} (a+b)^n&=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^{n}\\[0.25cm] &= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\end{aligned}$

Een generalisatie van het binomium van Newton bestaat ook en wordt dan $(a_1+a_2+\cdots a_m)^n = \sum_{k_1, k_2\ldots k_m\in\mathbb{N},\\ k_1+k_2\cdots k_m=n} \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_m^{k_m}$

Kies voor $a=b=1$ in het binomium van Newton en je krijgt: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$

Kies $a=x, b=1$ in het binomium van Newton en je krijgt: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k=(1+x)^n$ Wanneer je beide kanten van de gelijkheid differentieert naa $x$ , dan krijg je $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}kx^{k-1}=n(1+x)^{n-1}$ Invullen van $x=1$ levert de volgende gelijkheid op: $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k=n2^{n-1}=\tfrac{1}{2}n\,2^n$