Rekenkundige rijen

Elementaire combinatoriek: Rekenkundige en meetkundige rijen

Rekenkundige rijen

Rekenkundige rij

Een rekenkundige rij is een rijtje getallen \(a_1,a_2,a_3, \ldots\) waarvoor geldt dat het verschil \(a_{k+1}-a_k\) tussen twee opeenvolgende termen van de rij constant is.

Voorbeelden \[\begin{aligned}&1,2,3,4,5,6,\ldots\\[0.25cm] &2,5,8,11,14,\ldots\end{aligned}\]

Somformule voor een rekenkundige rij

Als \(a_1,a_2,a_3, \ldots\) een rekenkundige rij is, dan wordt de partiële som van de eerst \(n\) termen gegeven door \[\sum_{k=1}^{n}a_k=\tfrac{1}{2}n(a_1+a_n)\] Als het verschil tussen twee opeenvolgende termen uit de rij gelijk aan \(v\) is, dan kan de somformule ook geschreven worden als \[\sum_{k=1}^{n}a_k=n\,a_1+\tfrac{1}{2}(n-1)\,n\,v\]

Voorbeelden \[\begin{array}{rcrcrcrcr} 1&+&2&+&\ldots&+&99&+&100\\ 100&+&99&+&\ldots&+&2&+&1\\ \hline 101&+&101&+&\ldots&+&101&+&101\end{array}\] Dus: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{100}k=\frac{1}{2}\times 100\times 101=5050\)

Als \(a_1=3, v=2, n=20\), dan\(\phantom{\qquad\qquad\qquad}\) \[\sum_{k=1}^{20}(2k+1)=20\times 3+\frac{1}{2}\times 19\times 20\times 2=440\]

Starten met rij-index 0 Je kunt de nummering van een getallenrij ook met \(0\) laten beginnen. De somformule wordt dan \[\sum_{k=0}^{n-1}a_k=\tfrac{1}{2}n(a_0+a_{n-1})\] en \[\sum_{k=0}^{n-1}a_k=n\,a_{0}+\tfrac{1}{2}(n-1)\,n\,v\] met \(v\) het verschil tussen twee opeenvolgende termen uit de rij. Je ziet dat de formules nagenoeg gelijk zijn aan die rij-nummering vanaf \(1\). Maar bij meetkundige rijen zal deze nieuwe nummering wel handiger blijken te zijn.