Rekenkundige rijen

Elementaire combinatoriek: Rekenkundige en meetkundige rijen

Rekenkundige rijen

Rekenkundige rij

Een rekenkundige rij is een rijtje getallen $a_1,a_2,a_3, \ldots$ waarvoor geldt dat het verschil $a_{k+1}-a_k$ tussen twee opeenvolgende termen van de rij constant is.

Voorbeelden

$\begin{aligned}&1,2,3,4,5,6,\ldots\\[0.25cm] &2,5,8,11,14,\ldots\end{aligned}$

Somformule voor een rekenkundige rij

Als $a_1,a_2,a_3, \ldots$ een rekenkundige rij is, dan wordt de partiële som van de eerst $n$ termen gegeven door

$\sum_{k=1}^{n}a_k=\tfrac{1}{2}n(a_1+a_n)$ Als het verschil tussen twee opeenvolgende termen uit de rij gelijk aan $v$ is, dan kan de somformule ook geschreven worden als

$\sum_{k=1}^{n}a_k=n\,a_1+\tfrac{1}{2}(n-1)\,n\,v$

Voorbeelden

$\begin{array}{rcrcrcrcr} 1&+&2&+&\ldots&+&99&+&100\\ 100&+&99&+&\ldots&+&2&+&1\\ \hline 101&+&101&+&\ldots&+&101&+&101\end{array}$ Dus: $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}k=\frac{1}{2}\times 100\times 101=5050$

Als $a_1=3, v=2, n=20$ , dan $\phantom{\qquad\qquad\qquad}$

$\sum_{k=1}^{20}(2k+1)=20\times 3+\frac{1}{2}\times 19\times 20\times 2=440$

Starten met rij-index 0 Je kunt de nummering van een getallenrij ook met $0$ laten beginnen. De somformule wordt dan

$\sum_{k=0}^{n-1}a_k=\tfrac{1}{2}n(a_0+a_{n-1})$ en

$\sum_{k=0}^{n-1}a_k=n\,a_{0}+\tfrac{1}{2}(n-1)\,n\,v$ met $v$ het verschil tussen twee opeenvolgende termen uit de rij. Je ziet dat de formules nagenoeg gelijk zijn aan die rij-nummering vanaf $1$ . Maar bij meetkundige rijen zal deze nieuwe nummering wel handiger blijken te zijn.