Meetkundige rijen

Elementaire combinatoriek: Rekenkundige en meetkundige rijen

Meetkundige rijen

Meetkundige rij

Een meetkundige rij met reden \(\boldsymbol{r}\) is een rijtje getallen \(a_0,a_1,a_2, \ldots\) waarvoor geldt dat het quotiënt \(a_{k+1}/a_k\) tussen twee opeenvolgende termen van de rij gelijk is aan de constante \(r\). Elke term in de rij, behalve de eerste, ontstaat dus uit zijn voorganger door die met \(r\) te vermenigvuldigen: \(a_{k+1}=r\cdot a_k\).

Voorbeelden \[\begin{aligned}&1,2,4,8,16,\ldots\\[0.25cm] &2,6,18,54,162,\ldots\end{aligned}\]

Somformule voor een meetkundige rij

Als \(a_0,a_1,a_2\ldots\) een meetkundige rij met reden \(r\) is, dan wordt de partiële som van de eerst \(n\) termen gegeven door \[\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n-1}a_k&= a_0\cdot \sum_{k=0}^{n-1}r^k\\[0.25cm] &=a_0\cdot \frac{1-r^n}{1-r}\end{aligned}\]

Voorbeelden \[\begin{array}{rcrcrcrcrrc} 1&+&2&+&4&+&8&+&16&&\\ &&2&+&4&+&8&+&16&+&32\\ \hline \end{array}\] Dus: \(\displaystyle \sum_{k=0}^{4}2^k=\frac{1-32}{1-2}=2^5-1=31\)

Als \(a_1=3, r=2, n=20\), dan\(\phantom{\qquad\qquad\qquad}\) \[\begin{aligned}\sum_{k=0}^{19}(3\times 2^k) &=3\times\frac{1-2^{20}}{1-2}\\[0.25cm]&=3\times (2^{20}-1)\\[0.25cm] &=1048575\end{aligned}\]

Het bewijs van de somformule voor de geometrische rij \(a_0\), \(a_0 r\), \(a_0 r^2\), \(\ldots\), d.w.z. \(a_k=a_0 r^k\), gaat als volgt. Stel \(\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^{n-1} a_0 r^k\). Dan: \(r\, s_n=\sum_{k=1}^{n} a_0 r^k\) en dus \((1-r)s_n=a_0-a_0r^n)\) oftewel \(s_n=a_0(1-r^n)/(1-r)\).

Starten met rij-index 1 Je kunt de nummering van een getallenrij ook met \(1\) laten beginnen. De somformule wordt dan \[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n}a_k&=\sum_{k=1}^{n}a_1r^{k-1}\\[0.25cm] &=a_1\frac{1-r^{n}}{1-r}\end{aligned}\] met \(r\) het quotiënt tussen twee opeenvolgende termen uit de rij. Je ziet dat de formule nagenoeg gelijk is aan die met rij-nummering vanaf \(0\). Maar het is wel een beetje moeilijker om de individuele termen wiskundig willen beschrijven en pas de nummering minder goed bij de exponent van de reden.