Meetkundige rijen

Elementaire combinatoriek: Rekenkundige en meetkundige rijen

Meetkundige rijen

Meetkundige rij

Een meetkundige rij met reden $\boldsymbol{r}$ is een rijtje getallen $a_0,a_1,a_2, \ldots$ waarvoor geldt dat het quotiënt $a_{k+1}/a_k$ tussen twee opeenvolgende termen van de rij gelijk is aan de constante $r$ . Elke term in de rij, behalve de eerste, ontstaat dus uit zijn voorganger door die met $r$ te vermenigvuldigen: $a_{k+1}=r\cdot a_k$ .

Voorbeelden $\begin{aligned}&1,2,4,8,16,\ldots\\[0.25cm] &2,6,18,54,162,\ldots\end{aligned}$

Somformule voor een meetkundige rij

Als $a_0,a_1,a_2\ldots$ een meetkundige rij met reden $r$ is, dan wordt de partiële som van de eerst $n$ termen gegeven door $\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n-1}a_k&= a_0\cdot \sum_{k=0}^{n-1}r^k\\[0.25cm] &=a_0\cdot \frac{1-r^n}{1-r}\end{aligned}$

Voorbeelden $\begin{array}{rcrcrcrcrrc} 1&+&2&+&4&+&8&+&16&&\\ &&2&+&4&+&8&+&16&+&32\\ \hline \end{array}$ Dus: $\displaystyle \sum_{k=0}^{4}2^k=\frac{1-32}{1-2}=2^5-1=31$

Als $a_1=3, r=2, n=20$ , dan $\phantom{\qquad\qquad\qquad}$ $\begin{aligned}\sum_{k=0}^{19}(3\times 2^k) &=3\times\frac{1-2^{20}}{1-2}\\[0.25cm]&=3\times (2^{20}-1)\\[0.25cm] &=1048575\end{aligned}$

Het bewijs van de somformule voor de geometrische rij $a_0$ , $a_0 r$ , $a_0 r^2$ , $\ldots$ , d.w.z. $a_k=a_0 r^k$ , gaat als volgt. Stel $\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^{n-1} a_0 r^k$ . Dan: $r\, s_n=\sum_{k=1}^{n} a_0 r^k$ en dus $(1-r)s_n=a_0-a_0r^n)$ oftewel $s_n=a_0(1-r^n)/(1-r)$ .

Starten met rij-index 1 Je kunt de nummering van een getallenrij ook met $1$ laten beginnen. De somformule wordt dan $\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n}a_k&=\sum_{k=1}^{n}a_1r^{k-1}\\[0.25cm] &=a_1\frac{1-r^{n}}{1-r}\end{aligned}$ met $r$ het quotiënt tussen twee opeenvolgende termen uit de rij. Je ziet dat de formule nagenoeg gelijk is aan die met rij-nummering vanaf $0$ . Maar het is wel een beetje moeilijker om de individuele termen wiskundig willen beschrijven en pas de nummering minder goed bij de exponent van de reden.