Rekenen met getallen: Rekenen met machten
De derdemachtswortel van een geheel getal
Elke wortel die tot nu toe aan de orde is geweest was steeds een voorbeeld van een tweedemachtswortel, ook wel vierkantswortel genaamd. Er bestaan ook hogere machtswortels.
We beginnen met een speciaal geval, namelijk de derdemachtswortel. Anders dan bij een vierkantswortel, kun je wel een derdemachtswortel van een negatief getal trekken.
De derdemachtswortel
De derdemachtswortel van een getal \(a\ge 0\) is per definitie het getal \(w\) waarvoor geldt dat \(w^3 = a\) is. Notatie: \(w = \sqrt[3]{a}\) en \(w=a^{\frac{1}{3}}\).
Voorbeelden
\[\begin{aligned}\sqrt[3]{8}&=\phantom{-}{2}\quad\text{want }2^3=8\text{ en }\\[0.2cm] \sqrt[3]{-8}&={-2}\quad\text{want }(-2)^3=-8\end{aligned}\]
De rekenregels voor derdemachtswortels lijken op die van vierkantswortels.
Voor elk geheel getal \(n\) geldt: \[\sqrt[3]{n^3}=n\] en \[\left(\sqrt[3]{n}\right)^3=n\]
Voorbeeld \(n=4\)
\[\sqrt[3]{4^3}=4\] en \[\left(\sqrt[3]{4}\right)^3=4\]
Voor gehele getallen \(m\) en \(n\) geldt: \[\sqrt[3]{m}\times \sqrt[3]{n}= \sqrt[3]{m\times n}\]
Voorbeeld
\[\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2\times 3}\] want \[\begin{aligned}\left(\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{3}\right)^3 &= \left(\sqrt[3]{2}\right)^3\times \left(\sqrt[3]{3}\right)^3\\ &= 2\times 3\\ &= 6\\ &= \left(\sqrt[3]{6}\right)^3 \\ &= \left(\sqrt[3]{2\times 3}\right)^3\end{aligned}\]
Quotiëntregel voor derdemachtswortels
De derdemachtswortel van een breuk met gehele getallen voor teller en noemer is gelijk aan het quotiënt van de wortel van de teller en de wortel van de noemer.
In formuletaal geldt voor gehele getallen \(m\) en \(n\): \[\sqrt[3]{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt[3]{m}}{\sqrt[3]{n}}\]
Voorbeeld
\[\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{3}{4}\] en inderdaad \[\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}\]
Deze regels kun je gebruiken om derdemachtswortels te vereenvoudigen.
Een onvereenvoudigbare derdemachtswortel en de standaardvorm van een derdemachtswortel De derdemachtswortel van een natuurlijk getal groter dan 1, zeg \(\sqrt[3]{n}\), heet onvereenvoudigbaar als \(n\) geen kubiekgetal (d.w.z. een derde macht van een natuurlijk getal) groter dan 1 als deler heeft. Zo zijn \(\sqrt[3]{35}=\sqrt[3]{5\times 7}\) en \(\sqrt{12}=\sqrt[3]{2^2\times 3}\) onvereenvoudigbare derdemachtswortels, maar \(\sqrt[3]{40}\) niet, want \[\begin{aligned}\sqrt[2]{40} &=\sqrt[3]{8\times 5}\\ &=\sqrt[3]{2^3\times 5}\\ &=\sqrt[3]{2^3}\times\sqrt[3]{5}\\ &=2\times \sqrt[3]{5}\end{aligned}\] De laatste uitdrukking schrijven we meestal korter als \(2\sqrt[3]{5}\).
Elke derdemachtswortel van een geheel getal ongelijk aan 0 kan geschreven worden in standaardvorm, d.w.z. als een geheel getal of als het product van een geheel getal en een onvereenvoudigbare derdemachtswortel.
De uitdrukking \(m\sqrt[3]{n}\) voor gehele getallen \(m\) en \(n>1\) is dus in standaardvorm als er geen kubiekgetal groter dan 1 bestaat dat \(n\) deelt.
Je vindt de standaardvorm van een derdemachtswortel door 'alle derde machten buiten de wortel te halen'. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
