Som en verschil van breuken

Rekenen met getallen: Rekenen met breuken

Som en verschil van breuken

Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

Optellen en aftrekken van twee gelijknamige breuken is eenvoudig: de noemer blijft hetzelfde en de tellers worden bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken. Indien mogelijk vereenvoudig je het antwoord.

Voorbeeld

\[\begin{aligned}\tfrac{5}{14} +\tfrac{3}{14}&=\tfrac{5+3}{14}=\tfrac{8}{14}=\tfrac{4}{7} \\[0.2cm] \tfrac{5}{14} -\tfrac{3}{14}&=\tfrac{5-3}{14}=\tfrac{2}{14}=\tfrac{1}{7}\end{aligned}\]

Optellen en aftrekken van niet-gelijknamige breuken

Als je twee breuken wilt optellen of aftrekken die niet gelijknamig zijn, dan kun je het volgende stappenplan hanteren:

maak de breuken gelijknamig;
tel ze op of trek ze van elkaar af;
indien mogelijk vereenvoudig het antwoord.

Voorbeeld

\[\begin{aligned}\tfrac{3}{10} +\tfrac{2}{15}&=\tfrac{\phantom{1}3\times 15}{10\times 15}+\tfrac{10\times 2\phantom{1}}{10\times 15}\\&=\tfrac{45}{150}+\tfrac{20}{150}=\tfrac{65}{150}=\tfrac{13}{30} \\[0.2cm] \tfrac{3}{10} -\tfrac{2}{15}&=\tfrac{\phantom{1}3\times 3}{10\times 3}-\tfrac{\phantom{1}2\times 2}{15\times 2}\\&=\tfrac{9}{30}-\tfrac{4}{30}=\tfrac{5}{30}=\tfrac{1}{6}\end{aligned}\]

Toelichting bij eerste voorbeeld Het eerste voorbeeld van optellen van niet-gelijknamige breuken illustreert een altijd toepasbare methode van gelijknamig maken, namelijk het werken met het product van de noemers. Bij twee breuken \(\tfrac{a}{b}\) en \(\tfrac{c}{d}\) vermenigvuldig je de teller en noemer van de eerste breuk met \(d\) en de teller en noemer van de tweede breuk met \(b\). Zo vind je: \[\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\times d}{b\times d}\pm\frac{b\times c}{b\times d}=\frac{a\times d\pm b\times c}{b\times d}\] De breuk die je zo krijgt staat niet altijd in de eenvoudigste vorm: soms hebben teller en noemer nog een gemeenschappelijke deler en het is dan netjes om deze uit te delen.

Toelichting bij tweede voorbeeld Het tweede voorbeeld van aftrekken van niet-gelijknamige breuken illustreert de methode om met zo klein mogelijke noemers te kunnen werken, namelijk het gebruik van het kleinste gemene veelvoud (kgv) van de noemers. Zo vind je: \[\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\times e}{b\times e}\pm\frac{c\times f}{d\times f}=\frac{a\times e\pm c\times f}{k}\] met \[k=\mathrm{kgv}(b,d),\quad e=\frac{k}{b},\quad f=\frac{k}{d}\]

Onderstaande voorbeelden met twee of drie breuken illustreren het rekenwerk.

Bereken \(\frac{2}{27}+\frac{3}{29}\) en vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk.

Het kleinste gemene veelvoud van de noemers \(27\) en \(29\) is gelijk aan \(783\).
Hiermee maken we de breuken gelijknamig. \[\frac{2}{27}=\frac{2\times 29}{27\times 29}=\frac{58}{783}\quad\text{en}\quad\frac{3}{29}=\frac{3\times 27}{29\times 27}=\frac{81}{783}\] Dan is het rekenwerk simpel: \[\begin{aligned}\frac{2}{27}+\frac{3}{29} &=\frac{58}{783}+\frac{81}{783} &\blue{\text{gelijknamig maken van breuken}} \\ \\ &=\frac{58+81}{783} &\blue{\text{samenvoeging van tellers}} \\ \\ &={{139}\over{783}}&\blue{\text{berekening en soms vereenvoudiging}} \end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Addition and Subtraction (22:32)