De vierkantswortel van een natuurlijk getal

Rekenen met getallen: Rekenen met machten

De vierkantswortel van een natuurlijk getal

De wortel van een getal

De wortel van een getal $a\ge 0$ is per definitie het niet-negatieve getal $w$ waarvoor geldt dat $w^2 = a$ is. Notatie: $w = \sqrt{a}$ en $w=a^{\frac{1}{2}}$ .

Voorbeelden

$\begin{aligned}\sqrt{4}&={2}\quad\text{want }2^2=4\text{ en }2\ge 0\\[0.2cm] \sqrt{16}&={4}\quad\text{want }4^2=16\end{aligned}$

$\sqrt{9} = 3$ want $3^2 = 9$ . Ook $(-3)^2 = 9$ en dus zou $-3$ ook een goede kandidaat voor de 'wortel van 9' kunnen wezen. Maar, zoals in de definitie staat, wordt onder $\sqrt{a}$ echter uitsluitend het positieve getal verstaan waarvan het kwadraat gelijk is aan $a$ , dus $\sqrt{9} = +3$ . De wortel van een positief geheel getal dat zelf geen kwadraat van een geheel getal is, is altijd irrationaal. Dus $\sqrt{3}$ is niet rationaal, d.w.z. niet als breuk te schrijven.

Wortel van een negatief getal De wortel van een negatief getal bestaat niet binnen de verzameling van reële getallen omdat kwadraten van dergelijke getallen nooit negatief zijn. Maar wiskundigen zijn niet voor één gat te vangen: zij kunnen zich best indenken dat er wel zo'n getal bestaat en de verzameling reële getallen uitbreiden met imaginaire getallen. Zo ontstaat de verzameling van complexe getallen, die in vrijwel alle toepassingen van wiskunde gebruikt worden. De wortel uit $-1$ wordt genoteerd als $\ii = \sqrt{-1}$ .

Wortel van een kwadraat

Voor elk natuurlijk getal $n$ geldt:

$\sqrt{n^2}=n$ en

$\left(\sqrt{n}\right)^2=n$

Voorbeeld $n=4$

$\sqrt{4^2}=4$ en

$\left(\sqrt{4}\right)^2=4$

Productregel van wortels

Voor natuurlijke getallen $m$ en $n$ geldt:

$\sqrt{m}\times \sqrt{n}= \sqrt{m\times n}$

Voorbeeld

$\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}$ want

$\begin{aligned}\left(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\right)^2 &= \left(\sqrt{2}\right)^2\times \left(\sqrt{3}\right)^2\\ &= 2\times 3\\ &= 6\\ &= \left(\sqrt{6}\right)^2 \\ &= \left(\sqrt{2\times 3}\right)^2\end{aligned}$

Hoe verleidelijk het ook moge wezen, er bestaat niet zoiets als een somregel van wortels. Voor niet-negatieve gehele getallen $m$ en $n$ geldt

$\sqrt{m}+\sqrt{n}\;\red{\neq}\;\sqrt{m+n}$ Een getallenvoorbeeld illustreert dit ook:

$5=2+3=\sqrt{4}+\sqrt{9}\;\red{\neq}\;\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

Deze regels kun je gebruiken om wortels te vereenvoudigen.

De wortel van een natuurlijk getal groter dan 1, zeg $\sqrt{n}$ , heet onvereenvoudigbaar als $n$ geen kwadraatgetal behalve 1 als deler heeft. Zo zijn $\sqrt{6}=\sqrt{2\times 3}$ en $\sqrt{30}=\sqrt{2\times 3\times 5}$ onvereenvoudigbare wortels, maar $\sqrt{18}$ niet, want

$\begin{aligned}\sqrt{18} &=\sqrt{9\times 2}\\ &=\sqrt{3^2\times 2}\\ &=\sqrt{3^2}\times\sqrt{2}\\ &=3\times \sqrt{2}\end{aligned}$ De laatste uitdrukking schrijven we meestal korter als $3\sqrt{2}$ .

Elke wortel van een positief geheel getal kan geschreven worden in standaardvorm, d.w.z. als een positief geheel getal of als het product van een positief geheel getal en een onvereenvoudigbare wortel.

De uitdrukking $m\sqrt{n}$ voor positieve gehele getallen $m$ en $n>1$ is dus in standaardvorm als er geen kwadraatgetal groter dan 1 bestaat dat $n$ deelt.

Dat er een standaardvorm voor de wortel van een positief geheel getal bestaat vindt zijn oorsprong in het feit dat elk positief geheel getal $c$ uniek te schrijven is als $a^2\times b$ , waarbij $a$ en $b$ positieve gehele getallen zijn en $b$ niet meer deelbaar is door een kwadraat. Dan geldt: $\sqrt{c}=a\sqrt{b}$ .

Als $p$ een priemdeler van $c$ is, maar $p^2$ niet $c$ deelt, dan is $p$ een priemdeler van $b$ en hoort die bij dit getal.
Als $p$ een priemdeler van $c$ is, en $p^2$ ook $c$ deelt, maar $p^3$ niet, dan is $p$ een deler van $a$ en hoort die bij dit getal.
Als $p$ een priemdeler van $c$ is, en $p^2$ en $p^3$ ook $c$ delen, maar $p^4$ niet, dan is $p$ een deler van $a$ en van $b$ en hoort die bij beide getallen.
En dit kunnen we zo voortzetten.

Concrete voorbeelden:

$\begin{aligned} 12&=2^2\times 3\quad\text{en dus }\sqrt{12}=2\sqrt{3}\\ 24&=2^3\times 3\quad\text{en dus }\sqrt{24}=2\sqrt{2\times 3}=2\sqrt{6}\\ 48&=2^4\times 3\quad\text{en dus }\sqrt{48}=2^2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\end{aligned}$

Je vindt de standaardvorm van een wortel door 'alle kwadraten buiten de wortel te halen'. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.

Schrijf de wortel $\;\sqrt{396}\;$ in standaardvorm.

Eerst zoeken we een zo groot mogelijk kwadraatgetal dat een deler is $396$ .
In dit geval kunnen we schrijven:

$\begin{aligned}396&=36\times 11\\ \\ &={6}^2\times 11\end{aligned}$ Dit volgt bijvoorbeeld uit de priemontbinding van $396$ :

$396=2^2\times 3^2\times 11$ Je kunt in plaats van een priemontbinding ook in stapjes te werk gaan en een herkenbaar kwadraat al vast apart nemen. In dit geval zie je misschien al dat $396$ deelbaar is door het kwadraat $9$ en kun je schrijven:

$396=3^2\times 44$ Nu kun je je concentreren op het mogelijk vinden van een kwadraat dat deler is van een kleiner getal, namelijk $44$ . Zo kom je stapje voor stapje ook wel bij het grootste kwadraat dat $396$ deelt of reduceer je het gestelde probleem steeds tot een kleiner probleem van dezelfde aard.

Eenmaal het grootste kwadraatgetal gevonden dat een deler is van $396$ passen we de rekenregels

$\sqrt{m\times n} = \sqrt{m}\times\sqrt{n}$ en

$\sqrt{n^2}=n$ voor natuurlijke getallen $m$ en $n$ toe:

$\begin{aligned} \sqrt{396} &= \sqrt{{6}^2\times 11}\\ \\ &=\sqrt{{6}^2}\times \sqrt{11}\\ \\ &=6\sqrt{11}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Surd and Other Roots (33:54)