Gebroken machten

Rekenen met getallen: Rekenen met machten

Gebroken machten

Rekenregels voor machten met gehele exponenten zijn eerder aan bod gekomen. Deze kunnen ook uitgebreid worden tot rationale exponenten als het grondtal maar positief is.

Voor een breuk $\tfrac{m}{n}$ met $n>1$ definiëren we de gebroken macht

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Voorbeelden

$\begin{aligned}2^{\frac{4}{3}}&=\sqrt[3]{2^4}=2\sqrt[3]{2}\\[0.2cm] 2^{-\frac{1}{2}}&=\sqrt{2^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}$

Rekenregels voor gebroken machten

$\begin{aligned}a^r \times a^s &= a^{r+s} \\ \\ \frac{a^r}{a^s} &= a^{r-s} \\ \\ \left(a^r\right)^s &= a^{r\times s} \\ \\ (a \times b)^r &= a^r \times b^r \\ \\ \left(\frac{a}{b}\right)^r &= \frac{a^r}{b^r}\end{aligned}$ voor alle rationale getallen $r$ en $s$ en alle positieve getallen $a$ en $b$ .

Vereenvoudig $\;243^{\frac{1}{5}}\;$ tot een natuurlijk getal.

Omdat $243=3^5$ krijgen we met rekenregels van machten

$243^{\frac{1}{5}}=\left(3^5\right)^{\frac{1}{5}}=3^{(5\times\frac{1}{5})}=3^1=3$

Nieuw voorbeeld