Nu we rationale getallen beschouwd hebben als repeterende decimale breuken kunnen we ons ook afvraag wat te doen met oneindige cijferreeksen waarin geen repeterend gedeelte zit. Een dergelijk getal kunnen we wel gemakkelijk construeren: \[0.12\,112\,1112\,11112\,111112\ldots\] De witruimte in bovenstaand getal geeft de constructie beter aan: eerst een één en een twee, dan twee énen en een twee, dan drie énen en een twee, dan vier énen en een twee, enzovoort. Voor dit getal, laten we het \(x\) noemen, weten we dat \[\begin{array}{c}0.1<x<0.2\\ 0.12<x<0.13\\ 0.121<x<0.122\\0.1211\,<x<0.1212\\ 0.12112<x<0.12113\\ 0.121121<x<0.121122\\ 0.1211211<x<0.1211212\\ 0.12112111<x<0.12112112\\ 0.121121112<x<0.121121112\\ \ldots\ldots\ldots\end{array}\] Je ziet dat we het getal \(x\) steeds ingeklemd hebben tussen twee waarden die in elke stap tien keer dichter bij elkaar kommen te leggen. We kunnen dus voor dit getal om elke gewenste decimaal correct afronden. Met andere woorden, op de getallenlijn kunnen we met elke gewenst precisie aangeven binnen welk interval het getal moet liggen. Behalve dat we weten dat het geen rationaal getal is, is er niet veel bekend over dit getal. We noemen een oneindige niet-repeterende decimale breuk een irrationaal getal.

Bekende irrationale getallen zijn \[\begin{aligned}\sqrt{2}&=1.4142135623730950488\ldots \\ \sqrt{3}&=1.7320508075688772935\ldots \\ \pi&=3.1415926535897932385\ldots\end{aligned}\]

De rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen.