Factorisatie van een kwadratische veelterm via de som-product-methode

Rekenen met letters: Rekenen met letters

Factorisatie van een kwadratische veelterm via de som-product-methode

Een kwadratische vergelijking in de variabele $x$ is een uitdrukking van de vorm

$ax^2+bx+c$ voor zekere getallen $a$ , $b$ en $c$ met $a\neq0$ . De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat $a=1$ .

De som-product-methode

Bij de som-product-methode, ook wel product-som-methode of factorisatie door inspectie genoemd, proberen we $x^2+b\,x+c$ te factoriseren tot $(x+p)(x+q)$ voor zekere getallen $p$ en $q$ . Als je de haakjes wegwerkt in de ontbonden vorm, dan krijgen we dus

$x^2+b\,x+c=x^2+(p+q)x+p\times q\text.$ We moeten dus twee getallen $p$ en $q$ vinden zodanig dat

$p+q=b\quad\mathrm{en}\quad p\times q=c\text.$

Voorbeelden

$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ want $1+2=3$ en $1\times 2=2$ .

$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$ want $-4+3=-1$ en $-4\times 3=-12$ .

Om de uitdrukking $x^2+b\, x+c$ te ontbinden in factoren als $(x+p)(x+q)$ geven we onszelf de opdracht om twee getallen te vinden waarvan de som gelijk is aan de gegeven $b$ en het product gelijk is aan de gegeven $c$ . Eigenlijk is de taak hiermee niet heel erg vereenvoudigd, maar soms heb je geluk (bij kleine gehele coëfficiënten) en zie je de oplossingen voor je ogen staan. Maar als het niet lukt weet je eigenlijk niet of het aan inspiratiegebrek ligt of dat er inderdaad geen ontbinding mogelijk is binnen de verzameling van reële getallen.

In het laatste voorbeeld van $x^2-x-12$ zoek je dus naar twee getallen met product $-12$ en som $-1$ , want de term $-x$ kun je lezen als $-1x$ . Omdat het product negatief is moet een van gezochte getallen negatief zijn, zeg $p$ . Op kladpapier of uit het hoofd inspecteer je het rijtje

$-12=-12\times 1=-6\times 2=-4\times 3 = -3\times 4 = -2\times 6=-1\times 12$ Handiger is om een tabel te maken van mogelijkheden en daarbij de som van de mogelijke twee getallen te berekenen:

$\begin{array}{||c|c|c||} \hline p & q & p+q\\ \hline -12 & 1 & -11\\ \hline -6 & 2 & -4\\ \hline -4 & 3 & -1\\ \hline -3 & 4 & 1\\ \hline -2 & 6 & 4\\ \hline -1 & 12 & 11\\ \hline\end{array}$ In de tabel lees je af dat de getallen $-4$ en $3$ de som $-1$ hebben.
Daarom:

$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$ Je kunt dit controleren door de haakje in het rechterlid uit te werken.

Ontbind $\;x^2-x -12\;$ in factoren met gehele coëfficënten via de som-product-methode.

$x^2-x -12={}$ $(x-4)(x+3)$ .

Je zoekt gehele getallen $p$ en $q$ zodanig dat $x^2-x -12=(x+p)(x+q)$ .
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan:

$x^2-x -12=x^2+(p+q)x+p\times q$ Je zoekt dus getallen $p$ en $q$ zodanig dat $p+q=-1$ en $p \times q= -12$ .
Omdat je $p$ en $q$ mag verwisselen volstaat een keuze van $p$ met $p^2\le 12$ ,
d.w.z. een keuze van $p$ met $|p|\le\sqrt{12}\approx 3.464$ .
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen:

$\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & -12 & -11\\ \hline -1 & 12 & 11\\ \hline 2 & -6 & -4\\ \hline -2 & 6 & 4\\ \hline 3 & -4 & -1\\ \hline -3 & 4 & 1\\ \hline \end{array}$ $p=-4$ en $q=3$ voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt:

$x^2-x -12=(x-4)(x+3)$

Nieuw voorbeeld

We hebben de som-product-methode gekoppeld aan kwadratische veeltermen, maar soms staan die een beetje verdekt opgesteld in algebraïsche uitdrukkingen. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.

Ontbind $\;t^{5}-5t^{4} + 4t^3\;$ in factoren met gehele coëfficënten.

$t^{5}-5t^{4} + 4t^3={}$ $t^3(t-4)(t-1)$ .

Merk eerst op dat alle termen deelbaar zijn door $t^3$ zodat

$t^{5}-5t^{4} + 4t^3=t^3(t^2-5 t + 4)$ en de kwadratische veelterm tussen de haakjes in de vorm is waarop de som-product-methode met gehele coëfficiënten van toepassing is.

Je zoekt nu nog gehele getallen $p$ en $q$ zodanig dat $t^2-5 t + 4=(t+p)(t+q)$ .
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan:

$t^2-5t + 4=x^2+(p+q)t+p\times q$ Je zoekt dus getallen $p$ en $q$ zodanig dat $p+q=-5$ en $p \times q= 4$ .
Omdat je $p$ en $q$ mag verwisselen volstaat een keuze van $p$ met $p^2\le 4$ ,
d.w.z. een keuze van $p$ met $|p|\le\sqrt{4}=2$ .
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen:

$\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & 4 & 5\\ \hline -1 & -4 & -5\\ \hline 2 & 2 & 4\\ \hline -2 & -2 & -4\\ \hline \end{array}$ $p=-4$ en $q=-1$ voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt:

$t^2-5t + 4=(t-4)(t-1)$ Het eindresultaat is dus:

$t^{5}-5t^{4} + 4t^3=t^3(t-4)(t-1)$

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Factorization of a Quadratic Equation by Inspection (42:36)