Rekenen met letters: Rekenen met letters
Factorisatie van een kwadratische veelterm via de som-product-methode
Een kwadratische vergelijking in de variabele is een uitdrukking van de vorm
voor zekere getallen , en met . De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat .
De som-product-methode
Bij de som-product-methode, ook wel product-som-methode of factorisatie door inspectie genoemd, proberen we te factoriseren tot voor zekere getallen en . Als je de haakjes wegwerkt in de ontbonden vorm, dan krijgen we dus
We moeten dus twee getallen en vinden zodanig dat
Voorbeelden
want en .
want en .
.
Je zoekt gehele getallen en zodanig dat .
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan:
Omdat je en mag verwisselen volstaat een keuze van met ,
d.w.z. een keuze van met .
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen:
De ontbinding in factoren is als volgt:
Je zoekt gehele getallen en zodanig dat .
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan:
Je zoekt dus getallen en zodanig dat en .
Omdat je en mag verwisselen volstaat een keuze van met ,
d.w.z. een keuze van met .
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen:
en voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt:
We hebben de som-product-methode gekoppeld aan kwadratische veeltermen, maar soms staan die een beetje verdekt opgesteld in algebraïsche uitdrukkingen. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
.
Merk eerst op dat alle termen deelbaar zijn door zodat
Je zoekt nu nog gehele getallen en zodanig dat .
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan:
Omdat je en mag verwisselen volstaat een keuze van met ,
d.w.z. een keuze van met .
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen:
De ontbinding in factoren is als volgt:
Merk eerst op dat alle termen deelbaar zijn door zodat
en de kwadratische veelterm tussen de haakjes in de vorm is waarop de som-product-methode met gehele coëfficiënten van toepassing is.
Je zoekt nu nog gehele getallen en zodanig dat .
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan:
Je zoekt dus getallen en zodanig dat en .
Omdat je en mag verwisselen volstaat een keuze van met ,
d.w.z. een keuze van met .
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen:
en voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt:
Het eindresultaat is dus:
Mathcentre video
Factorization of a Quadratic Equation by Inspection (42:36)
Ontgrendel volledige toegang