Rekenen met letters: Rekenen met letters
Factorisatie van een kwadratische veelterm via de som-product-methode
Een kwadratische vergelijking in de variabele \(x\) is een uitdrukking van de vorm \[ax^2+bx+c\] voor zekere getallen \(a\), \(b\) en \(c\) met \(a\neq0\). De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat \(a=1\).
De som-product-methode
Bij de som-product-methode, ook wel product-som-methode of factorisatie door inspectie genoemd, proberen we \(x^2+b\,x+c\) te factoriseren tot \((x+p)(x+q)\) voor zekere getallen \(p\) en \(q\). Als je de haakjes wegwerkt in de ontbonden vorm, dan krijgen we dus \[x^2+b\,x+c=x^2+(p+q)x+p\times q\text.\] We moeten dus twee getallen \(p\) en \(q\) vinden zodanig dat \[p+q=b\quad\mathrm{en}\quad p\times q=c\text.\]
Voorbeelden
\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\] want \(1+2=3\) en \(1\times 2=2\).
\[x^2-x-12=(x-4)(x+3)\] want \(-4+3=-1\) en \(-4\times 3=-12\).
Je zoekt gehele getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(t^2-2t -3=(t+p)(t+q)\).
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan: \[t^2-2t -3=t^2+(p+q)t+p\times q\] Je zoekt dus getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(p+q=-2\) en \(p \times q= -3\).
Omdat je \(p\) en \(q\) mag verwisselen volstaat een keuze van \(p\) met \(p^2\le 3\),
d.w.z. een keuze van \(p\) met \(|p|\le\sqrt{3}\approx 1.732\).
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen: \[\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & -3 & -2\\ \hline -1 & 3 & 2\\ \hline \end{array}\] \(p=1\) en \(q=-3\) voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt: \[t^2-2t -3=(t+1)(t-3)\]
We hebben de som-product-methode gekoppeld aan kwadratische veeltermen, maar soms staan die een beetje verdekt opgesteld in algebraïsche uitdrukkingen. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
Merk eerst op dat alle termen deelbaar zijn door \(x^2\) zodat \[x^{4}-3x^{3} + 2x^2=x^2(x^2-3 x + 2)\] en de kwadratische veelterm tussen de haakjes in de vorm is waarop de som-product-methode met gehele coëfficiënten van toepassing is.
Je zoekt nu nog gehele getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(x^2-3 x + 2=(x+p)(x+q)\).
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan: \[x^2-3x + 2=x^2+(p+q)x+p\times q\] Je zoekt dus getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(p+q=-3\) en \(p \times q= 2\).
Omdat je \(p\) en \(q\) mag verwisselen volstaat een keuze van \(p\) met \(p^2\le 2\),
d.w.z. een keuze van \(p\) met \(|p|\le\sqrt{2}\approx 1.414\).
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen: \[\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & 2 & 3\\ \hline -1 & -2 & -3\\ \hline \end{array}\] \(p=-1\) en \(q=-2\) voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt: \[x^2-3x + 2=(x-1)(x-2)\] Het eindresultaat is dus: \[x^{4}-3x^{3} + 2x^2=x^2(x-1)(x-2)\]
Mathcentre video
Factorization of a Quadratic Equation by Inspection (42:36)
