Het kwadraat van een som of een verschil

Rekenen met letters: Merkwaardige producten

Het kwadraat van een som of een verschil

Merkwaardige producten zijn bijzondere gevallen van de bananenformule die zo vaak gebruikt worden dat ze een speciale plaats innemen; ze zijn het opmerken waard.

Somformule bij kwadraten

Voor het kwadraat van een som geldt de somformule:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Voorbeeld

$\begin{aligned}(x+5)^2&=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2\\ &= x^2+10x+25\end{aligned}$

De afleiding van de somformule is als volgt:

$\begin{aligned}(a+b)^2&=(a+b)\cdot (a+b) & \blue{\text{kwadraat als product geschreven}}\\ &=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b & \blue{\text{toepassing van de bananenformule}}\\ &=a^2+2ab+b^2& \blue{\text{gelijksoortige termen bij elkaar en gebruik van machten}}\end{aligned}$

Verschilformule bij kwadraten

Voor het kwadraat van een verschil geldt de verschilformule:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Voorbeeld

$\begin{aligned}(x-5)^2&=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2\\ &= x^2-10x+25\end{aligned}$

De verschilformule

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ volgt uit de somformule door $b$ te vervangen door $-b$ (en dat zullen we in uitwerkingen van sommen ook vaak doen), maar toch is het handig om beide formules paraat te hebben. Let er in de verschilformule wel op dat voor het kwadraat $b^2$ geen minteken, maar een plusteken staat.

Voor wie een bewijs m.b.v. de bananenformule op prijs stelt:

$\begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)\cdot (a-b) & \blue{\text{kwadraat als product geschreven}}\\ &=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+(-b)\cdot (-b) & \blue{\text{toepassing van de bananenformule}}\\ &=a^2-2ab+b^2& \blue{\text{gelijksoortige termen bij elkaar en gebruik van machten}}\end{aligned}$

De formules zijn breed inzetbaar, ook als de tweetermen ingewikkelder worden.

Werk in $(7p-5q)^2$ de haakjes uit.

$\begin{aligned}(7p-5q)^2&=(7p)^2-2\cdot (7p)\cdot (5q)+(5q)^2\\ &\phantom{abcxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor het kwadraat van een verschil}} \\ &=49p^2-70pq+25q^2\\ &\phantom{abcxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Er is nog een derde merkwaardig product van twee tweetermen:

Merkwaardig product met een verschil van kwadraten

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Voorbeeld

$\begin{aligned}(x-5)(x+5) &=x^2-5^2\\ &= x^2-25\end{aligned}$

De afleiding van deze regel is als volgt:

$\begin{aligned}(a-b)(a+b)&=a\cdot a+a\cdot b-b\cdot a-b\cdot b & \blue{\text{toepassing van de bananenformule}}\\ &=a^2-b^2& \blue{\text{gelijksoortige termen bij elkaar en gebruik van machten}}\end{aligned}$

Vaak gebruik je deze formule van rechts naar links om een uitdrukking in twee factoren te ontbinden. Dit onderwerp bespreken we apart.