Rekenen met letters: Merkwaardige producten
Het kwadraat van een som of een verschil
Merkwaardige producten zijn bijzondere gevallen van de bananenformule die zo vaak gebruikt worden dat ze een speciale plaats innemen; ze zijn het opmerken waard.
Somformule bij kwadraten
Voor het kwadraat van een som geldt de somformule: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Voorbeeld
\[\begin{aligned}(x+5)^2&=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2\\ &= x^2+10x+25\end{aligned}\]
Verschilformule bij kwadraten
Voor het kwadraat van een verschil geldt de verschilformule: \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Voorbeeld
\[\begin{aligned}(x-5)^2&=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2\\ &= x^2-10x+25\end{aligned}\]
De verschilformule \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\] volgt uit de somformule door \(b\) te vervangen door \(-b\) (en dat zullen we in uitwerkingen van sommen ook vaak doen), maar toch is het handig om beide formules paraat te hebben. Let er in de verschilformule wel op dat voor het kwadraat \(b^2\) geen minteken, maar een plusteken staat.
Voor wie een bewijs m.b.v. de bananenformule op prijs stelt: \[\begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)\cdot (a-b) & \blue{\text{kwadraat als product geschreven}}\\ &=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+(-b)\cdot (-b) & \blue{\text{toepassing van de bananenformule}}\\ &=a^2-2ab+b^2& \blue{\text{gelijksoortige termen bij elkaar en gebruik van machten}}\end{aligned}\]
De formules zijn breed inzetbaar, ook als de tweetermen ingewikkelder worden.
Er is nog een derde merkwaardig product van twee tweetermen:
Merkwaardig product met een verschil van kwadraten
\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]
Voorbeeld
\[\begin{aligned}(x-5)(x+5) &=x^2-5^2\\ &= x^2-25\end{aligned}\]
Vaak gebruik je deze formule van rechts naar links om een uitdrukking in twee factoren te ontbinden. Dit onderwerp bespreken we apart.
