Som en verschil van breuken

Rekenen met getallen: Rekenen met breuken

Som en verschil van breuken

Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

Optellen en aftrekken van twee gelijknamige breuken is eenvoudig: de noemer blijft hetzelfde en de tellers worden bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken. Indien mogelijk vereenvoudig je het antwoord.

Voorbeeld

$\begin{aligned}\tfrac{5}{14} +\tfrac{3}{14}&=\tfrac{5+3}{14}=\tfrac{8}{14}=\tfrac{4}{7} \\[0.2cm] \tfrac{5}{14} -\tfrac{3}{14}&=\tfrac{5-3}{14}=\tfrac{2}{14}=\tfrac{1}{7}\end{aligned}$

Optellen en aftrekken van niet-gelijknamige breuken

Als je twee breuken wilt optellen of aftrekken die niet gelijknamig zijn, dan kun je het volgende stappenplan hanteren:

maak de breuken gelijknamig;
tel ze op of trek ze van elkaar af;
indien mogelijk vereenvoudig het antwoord.

Voorbeeld

$\begin{aligned}\tfrac{3}{10} +\tfrac{2}{15}&=\tfrac{\phantom{1}3\times 15}{10\times 15}+\tfrac{10\times 2\phantom{1}}{10\times 15}\\&=\tfrac{45}{150}+\tfrac{20}{150}=\tfrac{65}{150}=\tfrac{13}{30} \\[0.2cm] \tfrac{3}{10} -\tfrac{2}{15}&=\tfrac{\phantom{1}3\times 3}{10\times 3}-\tfrac{\phantom{1}2\times 2}{15\times 2}\\&=\tfrac{9}{30}-\tfrac{4}{30}=\tfrac{5}{30}=\tfrac{1}{6}\end{aligned}$

Het eerste voorbeeld van optellen van niet-gelijknamige breuken illustreert een altijd toepasbare methode van gelijknamig maken, namelijk het werken met het product van de noemers. Bij twee breuken $\tfrac{a}{b}$ en $\tfrac{c}{d}$ vermenigvuldig je de teller en noemer van de eerste breuk met $d$ en de teller en noemer van de tweede breuk met $b$ . Zo vind je:

$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\times d}{b\times d}\pm\frac{b\times c}{b\times d}=\frac{a\times d\pm b\times c}{b\times d}$ De breuk die je zo krijgt staat niet altijd in de eenvoudigste vorm: soms hebben teller en noemer nog een gemeenschappelijke deler en het is dan netjes om deze uit te delen.

Toelichting bij tweede voorbeeld Het tweede voorbeeld van aftrekken van niet-gelijknamige breuken illustreert de methode om met zo klein mogelijke noemers te kunnen werken, namelijk het gebruik van het kleinste gemene veelvoud (kgv) van de noemers. Zo vind je:

$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\times e}{b\times e}\pm\frac{c\times f}{d\times f}=\frac{a\times e\pm c\times f}{k}$ met

$k=\mathrm{kgv}(b,d),\quad e=\frac{k}{b},\quad f=\frac{k}{d}$

Onderstaande voorbeelden met twee of drie breuken illustreren het rekenwerk.

Bereken $\frac{1}{8}-\frac{9}{14}$ en vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk.

Het kleinste gemene veelvoud van de noemers $8$ en $14$ is gelijk aan $56$ .
Hiermee maken we de breuken gelijknamig.

$\frac{1}{8}=\frac{1\times 7}{8\times 7}=\frac{7}{56}\quad\text{en}\quad\frac{9}{14}=\frac{9\times 4}{14\times 4}=\frac{36}{56}$ Dan is het rekenwerk simpel:

$\begin{aligned}\frac{1}{8}-\frac{9}{14} &=\frac{7}{56}-\frac{36}{56} &\blue{\text{gelijknamig maken van breuken}} \\ \\ &=\frac{7-36}{56} &\blue{\text{samenvoeging van tellers}} \\ \\ &=-{{29}\over{56}}&\blue{\text{berekening en soms vereenvoudiging}} \end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Addition and Subtraction (22:32)