Product en quotiënt van breuken

Rekenen met getallen: Rekenen met breuken

Product en quotiënt van breuken

Vermenigvuldiging van breuken

Het product van twee breuken is de breuk die als teller het product van de tellers, en als noemer het product van de noemers heeft. Indien mogelijk vereenvoudig je het antwoord.

Voorbeeld

$\begin{aligned}\tfrac{3}{10}\times \tfrac{5}{7} &=\tfrac{3\times 5}{10\times 7}\\[0.1cm]&=\tfrac{15}{70}=\tfrac{3}{14}\\[0.2cm]\tfrac{5}{4}\times \tfrac{-2}{3} &=\tfrac{5\times (-2)}{4\times 3}\\[0.1cm]&=\tfrac{-10}{12}=-\tfrac{5}{6}\end{aligned}$

Soms helpt het om deze producten van tellers en noemers niet onmiddellijk uit te rekenen, maar eerst te kijken of er gemeenschappelijke delers uit te delen zijn. Dit voorkomt onnodig rekenen met grote getallen. We zullen dat in de uitwerkingen van de sommen evenwel niet doen.

Maar om een idee te hebben hoe dat gaat kijken we nog even naar het eerste voorbeeld $\tfrac{3}{10}\times \tfrac{5}{7}=\tfrac{3}{14}$ . In dit geval is de teller van de tweede breuk een deler van de noemer van de eerste breuk. Door inderdaad te delen krijgen we: $\tfrac{3}{10}\times \tfrac{5}{7}=\tfrac{3}{2}\times \tfrac{1}{7}$ . Dit product is nu eenvoudig uit te rekenen door het product van tellers en noemers te bepalen: $\tfrac{3}{2}\times \tfrac{1}{7}=\tfrac{3\times 1}{2\times 7}=\tfrac{3}{14}$ .

Bereken $\frac{51}{36}\times\frac{45}{34}$ en vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk.

$\begin{aligned}\frac{51}{36}\times\frac{45}{34}&=\frac{51\times 45}{36\times 34} &\blue{\text{samenvoeging van tellers en noemers}}\\ \\ &=\frac{2295}{1224}&\blue{\text{vermenigvuldiging in teller en noemer}}\\ \\&=\frac{15}{8} &\blue{\text{vereenvoudiging van de breuk}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Delen van breuken

Delen door een breuk is vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk.

De omgekeerde breuk krijg je door teller en noemer te verwisselen.

Voorbeeld

$\begin{aligned}\tfrac{2}{3}\div\tfrac{5}{7} &=\tfrac{2}{3}\times \tfrac{7}{5}=\tfrac{14}{15}\\[0.2cm]\tfrac{2}{3}\div\tfrac{-4}{9} &=\tfrac{2}{3}\times \tfrac{9}{-4}=-\tfrac{3}{2}\end{aligned}$

In het algemeen heten twee getallen elkaars omgekeerde als hun product gelijk aan $1$ is. Het getal $3$ is het omgekeerde van $\tfrac{1}{3}$ en de breuk $\tfrac{2}{3}$ is de omgekeerde breuk van $\tfrac{3}{2}$ .

Bereken $\frac{4}{5}\div\frac{5}{7}$ en vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk.

$\begin{aligned} \frac{4}{5}\div\frac{5}{7}&=\frac{4}{5}\times\frac{7}{5}&\blue{\text{conversie naar een product van breuken}}\\ \\ &=\frac{4\times 7}{5\times 5}&\blue{\text{samenvoeging van tellers en noemers}}\\ \\ &=\frac{28}{25}&\blue{\text{vermenigvuldiging in teller en noemer}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

In plaats van de operator $\div$ voor deling gebruikt men ook de notatie $\mathrm{:}$ en $/$ . Soms wordt ook een horizontale breukstreep gebruikt; in onderstaand voorbeeld staat een rationaal getal met een breuk in de teller en een breuk in de noemer.

Bereken $\displaystyle\frac{\displaystyle\;\frac{2}{3}\;}{\displaystyle\frac{3}{4}}$ en vereenvoudig het antwoord zo veel mogelijk.

$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\displaystyle\;\frac{2}{3}\;}{\displaystyle\frac{3}{4}}&=\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}&\blue{\text{verandering van notatie}}\\ &=\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}&\blue{\text{conversie naar product van breuken}}\\ \\ &=\frac{2\times 4}{3\times 3}&\blue{\text{samenvoeging van tellers en noemers}}\\ \\ &=\frac{8}{9}&\blue{\text{vermenigvuldiging in teller en noemer}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Multiplication and Division (32:50)