In de wetenschappelijke notatie wordt een getal opgeschreven als het product van een getal dat alleen uit significante cijfers bestaat en een macht van 10. Om met deze getallen te kunnen rekenen moet je dus kunnen omgaan met machten van 10. Omdat de rekenregels gelden voor machten met een willekeurig gekozen grondtal frissen we eerst kort het rekenen met machten op.
Voor elk getal \(g\) ongelijk aan 0 en elk positief geheel getal \(k\) is \[\begin{aligned} g^k&=\blue{ \overbrace{\color{black}{g \times g \times \cdots \times g}}^{k\mathrm{\;maal}}} \\ g^0\; & = 1 \\ g^{-k}\; & = \frac{1}{g^k} \end{aligned}\]
Hiermee is \(g^n\) voor elk geheel getal \(n\) bepaald. Het getal \(g\) heet het grondtal en \(n\) heet de exponent.
Machtsverheffen is dus herhaald vermenigvuldigen.
Je spreekt de macht van bijvoorbeeld de vorm \(2^3\) uit als "twee-tot-de-derde-macht" of als "twee-tot-de-macht-drie".
Voorbeelden
\[\begin{aligned}2^{-3}&=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2\times 2\times 2}=\frac{1}{8}\\[0.2cm] 2^{-2}&=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{4}\\[0.2cm] 2^{-1}&=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\[0.2cm] 2^0&=1\\[0.2cm] 2^1&=2\\[0.2cm] 2^2&=2\times 2=4\\[0.2cm] 2^3&=2\times 2\times 2=8\end{aligned}\]
Bij machten moet je goed opletten of een minteken al dan niet bij het grondtal hoort. Haakjes geven uitsluiting: \[(-3)^2 = (-3)\times(-3)=9\qquad\text{en}\qquad -3^2=-(3\times 3)=-(9)=-9\]
Een kwadraatgetal, soms ook wel een perfect vierkant genoemd, is een natuurlijk getal dat kan worden geschreven als het kwadraat van een natuurlijk getal. Bijvoorbeeld \(36 = 6^2\) en \(121 = 11^2\) zijn kwadraatgetallen.
Een soortgelijke naamgeving wordt ook voor derde macht van een natuurlijk getal. Een kubiekgetal, soms ook wel een perfecte kubus genoemd, is een natuurlijk getal dat kan worden geschreven als de derde macht van een natuurlijk getal. Bijvoorbeeld \(27 = 3^3\) en \(125 = 5^3\) zijn kubiekgetallen.
Om alles op zijn plaats te latten komen en niet verward te raken met exponenten zoals \(0\) en \(1\), kun je een macht altijd uitwerken door eerst een \(1\) op te schrijven en dan zo vaak te vermenigvuldigen met het grondtal als in de exponent staat aangegeven. Bij een negatieve exponent kun je een macht altijd uitwerken door eerst een \(1\) op te schrijven en dan zo vaak te vermenigvuldigen met de reciproke waarde van het grondtal als de absolute waarde van de exponent aangeeft.
Bijvoorbeeld:\[\begin{aligned}3^2 &= 1\times 3\times 3\\[0.2cm] 3^1 &= 1\times 3\\[0.2cm] 3^0 &= 1\\[0.2cm] 3^{-1} &= 1\times \frac{1}{3}\\[0.2cm] 3^{-2} &= 1\times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\end{aligned}\]
Bekijk een aantal voorbeelden door enkele malen op de nieuw voorbeeld-knop te klikken in onderstaand dynamisch voorbeeld.
\(\displaystyle \left({{3}\over{8}}\right)^{-2} = \mathrm{?}\)
\[\begin{aligned}\left({{3}\over{8}}\right)^{-2}&= {{1}\over {\left({{3}\over{8}}\right)^2}}&\blue{\text{per definitie}}\\ \\ &={{1}\over {\left({{3}\over{8}}\right)\times\left({{3}\over{8}}\right)}}&\blue{\text{herhaalde vermenigvuldiging}}\\ \\&={{1}\over{{{9}\over{64}}}}&\blue{\text{berekening}}\\ \\ &={{64}\over{9}}&\blue{\text{eindresultaat}} \end{aligned}\]
Gehele machten
