Als je machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, dan krijg je een macht met dit grondtal en kun je de exponenten optellen.

Voor grondtal \(g\) en gehele getallen \(m\) en \(n\) hebben we: \[g^m\times g^n=g^{m+n}\]

Voorbeelden

\[\begin{aligned} 3^2\times 3^4&=\blue{ \overbrace{\color{black}{(3 \times 3)} }^{2\mathrm{\;maal}}\color{black}{\times}\overbrace{\color{black}{(3 \times 3\times 3\times 3)} }^{4\mathrm{\;maal}}} \\[0.2cm] &= \blue{ \overbrace{\color{black}{3 \times 3\times 3\times 3\times 3\times 3}}^{(2+4)\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=3^{2+4}\\[0.2cm] &=3^6\end{aligned}\]

Als je machten met hetzelfde grondtal deelt, dan krijg je een macht met dit grondtal en kun je de exponenten van elkaar aftrekken

Voor grondtal \(g\) en gehele getallen \(m\) en \(n\) hebben we: \[g^m\div g^n=g^{m-n}\]

Voorbeeld

\[\begin{aligned} 3^4\div 3^2&=\blue{ \overbrace{\color{black}{(3 \times 3\times 3\times 3)} }^{4\mathrm{\;maal}}\color{black}{\div}\overbrace{\color{black}{(3 \times 3)} }^{2\mathrm{\;maal}}} \\[0.2cm] &= \blue{ \overbrace{\color{black}{(3 \times 3)} }^{(4-2)\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=3^{4-2}\\[0.2cm] &=3^2\end{aligned}\]

Als je een macht tot een macht verheft, dan krijg je een macht met hetzelfde grondtal en kun je de exponenten vermenigvuldigen.

Voor grondtal \(g\) en gehele getallen \(m\) en \(n\) hebben we: \[\left(g^m\right)^n=g^{m\times n}\]

Voorbeeld

\[\begin{aligned} \left(4^3\right)^2&=\blue{ \overbrace{\color{black}{(4^3 \times 4^3)} }^{2\mathrm{\;maal}}} \\[0.2cm] &= \blue{ \overbrace{\blue{ \overbrace{\color{black}{(4 \times 4\times 4)}}^{3\mathrm{\;maal}}\color{black}{\times}\overbrace{\color{black}{(4 \times 4\times 4)}}^{3\mathrm{\;maal}}}}^{2\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &= \blue{ \overbrace{\color{black}{4 \times 4\times 4\times 4\times 4\times 4}}^{(3+3)\mathrm{\;maal}\;=\;(3\times 2)\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=4^{3\times 2}\\[0.2cm] &=4^{6}\end{aligned}\]

De macht van een product is gelijk aan het product van machten, waarbij de grondtallen de factoren uit het product zijn.

Omgekeerd, als je twee machten die dezelfde exponent hebben vermenigvuldigt, dan krijg je een macht met dezelfde exponent en kun je de grondtallen vermenigvuldigen.

Voor grondtallen \(g\) en \(h\) en geheel getal \(n\) hebben we: \[(g\times h)^n = g^n\times h^n\]

Voorbeeld

\[\begin{aligned} (4\times 3)^2&=\blue{ \overbrace{\color{black}{(4 \times 3)\times (4\times 3)}}^{2\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=\blue{ \overbrace{\color{black}{(4 \times 4)}}^{2\mathrm{\;maal}}}\times \blue{ \overbrace{\color{black}{(3 \times 3)}}^{2\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=4^2\times 3^2\end{aligned}\]

De macht van een quotiënt is gelijk aan het quotiënt van machten, waarbij de grondtallen de teller en de noemer van het quotiënt zijn.

Omgekeerd, als je een macht deelt door een andere macht met dezelfde exponent, dan krijg je een macht met dezelfde exponent en kun je de grondtallen door elkaar delen.

Voor grondtallen \(g\) en \(h\) en geheel getal \(n\) hebben we: \[\left(g\div h\right)^n = g^n\div h^n\] of, met deelstrepen geschreven: \[\left(\frac{g}{h}\right)^n = \frac{g^n}{h^n}\]

Voorbeeld

\[\begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^4&=\blue{ \overbrace{\color{black}{\left(\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{2}{3}\right)}}^{4\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=\blue{ \overbrace{\color{black}{\frac{2 \times 2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3\times 3}}}^{4\mathrm{\;maal}}}\\[0.2cm] &=\frac{2^4}{3^4} \end{aligned}\]