Rekenen met getallen: Rekenen met machten
De vierkantswortel van een natuurlijk getal
De wortel van een getal
De wortel van een getal \(a\ge 0\) is per definitie het niet-negatieve getal \(w\) waarvoor geldt dat \(w^2 = a\) is. Notatie: \(w = \sqrt{a}\) en \(w=a^{\frac{1}{2}}\).
Voorbeelden
\[\begin{aligned}\sqrt{4}&={2}\quad\text{want }2^2=4\text{ en }2\ge 0\\[0.2cm] \sqrt{16}&={4}\quad\text{want }4^2=16\end{aligned}\]
Voor elk natuurlijk getal \(n\) geldt: \[\sqrt{n^2}=n\] en \[\left(\sqrt{n}\right)^2=n\]
Voorbeeld \(n=4\)
\[\sqrt{4^2}=4\] en \[\left(\sqrt{4}\right)^2=4\]
Voor natuurlijke getallen \(m\) en \(n\) geldt: \[\sqrt{m}\times \sqrt{n}= \sqrt{m\times n}\]
Voorbeeld
\[\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}\] want \[\begin{aligned}\left(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\right)^2 &= \left(\sqrt{2}\right)^2\times \left(\sqrt{3}\right)^2\\ &= 2\times 3\\ &= 6\\ &= \left(\sqrt{6}\right)^2 \\ &= \left(\sqrt{2\times 3}\right)^2\end{aligned}\]
Deze regels kun je gebruiken om wortels te vereenvoudigen.
Een onvereenvoudigbare wortel en de standaardvorm van een wortel De wortel van een natuurlijk getal groter dan 1, zeg \(\sqrt{n}\), heet onvereenvoudigbaar als \(n\) geen kwadraatgetal behalve 1 als deler heeft. Zo zijn \(\sqrt{6}=\sqrt{2\times 3}\) en \(\sqrt{30}=\sqrt{2\times 3\times 5}\) onvereenvoudigbare wortels, maar \(\sqrt{18}\) niet, want \[\begin{aligned}\sqrt{18} &=\sqrt{9\times 2}\\ &=\sqrt{3^2\times 2}\\ &=\sqrt{3^2}\times\sqrt{2}\\ &=3\times \sqrt{2}\end{aligned}\] De laatste uitdrukking schrijven we meestal korter als \(3\sqrt{2}\).
Elke wortel van een positief geheel getal kan geschreven worden in standaardvorm, d.w.z. als een positief geheel getal of als het product van een positief geheel getal en een onvereenvoudigbare wortel.
De uitdrukking \(m\sqrt{n}\) voor positieve gehele getallen \(m\) en \(n>1\) is dus in standaardvorm als er geen kwadraatgetal groter dan 1 bestaat dat \(n\) deelt.
Je vindt de standaardvorm van een wortel door 'alle kwadraten buiten de wortel te halen'. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
In dit geval kunnen we schrijven: \[\begin{aligned}396&=36\times 11\\ \\ &={6}^2\times 11\end{aligned}\] Dit volgt bijvoorbeeld uit de priemontbinding van \(396\): \[396=2^2\times 3^2\times 11\] Je kunt in plaats van een priemontbinding ook in stapjes te werk gaan en een herkenbaar kwadraat al vast apart nemen. In dit geval zie je misschien al dat \(396\) deelbaar is door het kwadraat \(9\) en kun je schrijven: \[396=3^2\times 44\] Nu kun je je concentreren op het mogelijk vinden van een kwadraat dat deler is van een kleiner getal, namelijk \( 44\). Zo kom je stapje voor stapje ook wel bij het grootste kwadraat dat \(396\) deelt of reduceer je het gestelde probleem steeds tot een kleiner probleem van dezelfde aard.
Eenmaal het grootste kwadraatgetal gevonden dat een deler is van \(396\) passen we de rekenregels \[\sqrt{m\times n} = \sqrt{m}\times\sqrt{n}\] en \[\sqrt{n^2}=n\] voor natuurlijke getallen \(m\) en \(n\) toe: \[\begin{aligned} \sqrt{396} &= \sqrt{{6}^2\times 11}\\ \\ &=\sqrt{{6}^2}\times \sqrt{11}\\ \\ &=6\sqrt{11}\end{aligned}\]
Mathcentre video clips
Surd and Other Roots (33:54)
