Rekenen met getallen: Rekenen met machten
De vierkantswortel van een breuk
Uit de eerdere, in algemene zin geformuleerde definitie van de wortel van een getal volgt min of meer onderstaande definitie van de wortel van een breuk.
Wortel van een breuk
De wortel van een breuk met positieve gehele getallen voor teller en noemer is gelijk aan het quotiënt van de wortel van de teller en de wortel van de noemer.
In formuletaal geldt voor positieve gehele getallen \(m\) en \(n\): \[\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}\]
Voorbeeld
\[\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}\] en inderdaad \[\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}\]
Eigenlijk is bovenstaande definitie van de wortel van een breuk de enige zinvolle definitie die ook leidt tot onderstaande rekenregel (in feite de definitie in omgekeerde richting gelezen).
Quotiëntregel voor wortels Voor positieve gehele getallen \(m\) en \(n\) geldt: \[\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}\]
De definitie en rekenregel kun je gebruiken om de wortel van een breuk te vereenvoudigen tot een standaardvorm van zo'n wortel. De wortel van een positieve breuk kan namelijk als geschreven worden als een onvereenvoudigbare breuk of als het product van een onvereenvoudigbare breuk en onvereenvoudigbare wortel.
De uitdrukking \(\frac{p}{q}\sqrt{r}\) voor gehele getallen \(p\), \(q\neq0\) en \(r>1\) is dus in standaardvorm als
- \(\frac{p}{q}\) een onvereenvoudigbare breuk is;
- er geen kwadraatgetal groter dan 1 bestaat dat \(r\) deelt.
Omgekeerd kun je een quotiënt van wortels met behulp van de rekenregels van wortels in standaardvorm schrijven.
Eerst halen we de wortel weg uit de noemer door teller en noemer met \(\sqrt{7}\) te vermenigvuldigen: \[\begin{aligned}\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{7}} &= \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\\ \\ &=\frac{\sqrt{11\times 7}}{(\sqrt{7})^2} \\ \\ &= \frac{\sqrt{77}}{7} \\ \\ &= \frac{1}{7}\times \sqrt{77}\end{aligned}\] De resterende wortel moet nu nog in standaardvorm geschreven worden.
Uit de factorisatie \(77=7\cdot 11\) volgt dat \(\sqrt{77}\) al in standaardvorm is. Dus: \[\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{7}}=\frac{1}{7}\sqrt{77}\]
