Rekenen met getallen: Rekenen met machten
Vierdemachtswortels en hogeremachtswortels in standaardvorm
We gaan hogeremachtswortels bekijken, maar beginnen met een speciaal geval, namelijk de vierdemachtswortel. Net als bij een vierkantswortel, kun je alleen een vierdemachtswortel van een niet-negatief getal trekken.
De vierdemachtswortel
De vierdemachtswortel van een getal \(a\ge 0\) is per definitie het niet-negatieve getal \(w\) waarvoor geldt dat \(w^4 = a\) is. Notatie: \(w = \sqrt[4]{a}\) en \(w=a^{\frac{1}{4}}\).
Voorbeelden
\[\begin{aligned}\sqrt[4]{16}&={2}\quad\text{want }2^4=16\text{ en }\\[0.2cm] \sqrt{81}&={3}\quad\text{want }(3)^4=81\end{aligned}\]
De rekenregels voor vierdemachtswortels lijken op die van vierkantswortels.
Voor elk natuurlijk getal \(n\) geldt: \[\sqrt[4]{n^4}=n\] en \[\left(\sqrt[4]{n}\right)^4=n\]
Voorbeeld \(n=3\)
\[\sqrt[4]{3^4}=3\] en \[\left(\sqrt[4]{3}\right)^4=3\]
Voor natuurlijke getallen \(m\) en \(n\) geldt: \[\sqrt[4]{m}\times \sqrt[4]{n}= \sqrt[4]{m\times n}\]
Voorbeeld
\[\sqrt[4]{2}\times \sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2\times 8}\] want \[\begin{aligned}\left(\sqrt[4]{2}\times \sqrt[4]{8}\right)^4 &= \left(\sqrt[4]{2}\right)^4\times \left(\sqrt[4]{8}\right)^4\\ &= 2\times 8\\ &= 16\\ &= \left(\sqrt[4]{16}\right)^4 \\ &= \left(\sqrt[4]{2\times 8}\right)^4\end{aligned}\]
Quotiëntregel voor vierdemachtswortels
De vierdemachtswortel van een breuk met positieve natuurlijke getallen voor teller en noemer is gelijk aan het quotiënt van de wortel van de teller en de wortel van de noemer.
In formuletaal geldt voor positieve natuurlijke getallen \(m\) en \(n\): \[\sqrt[4]{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}}\]
Voorbeeld
\[\sqrt[4]{\frac{81}{216}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{216}}=\frac{3}{4}\] en inderdaad \[\left(\frac{3}{4}\right)^4=\frac{3^4}{4^4}=\frac{81}{216}\]
Maar er komt een nieuwe regel voor een vierdemachtswortel bij wat betreft het reduceren van zo'n wortel tot een vierkantswortel onder speciale omstandigheden.
Voor elk natuurlijke getal \(n\) geldt: \[\sqrt[4]{n^2}= \sqrt{n}\]
Voorbeeld
\[\sqrt[4]{9}=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt{3}\] want \[\begin{aligned}\left(\sqrt[4]{9}\right)^4 &= 9\\ &= 3^2\\ &= \bigl((\sqrt{3})^2\bigr)^2\\ &= \sqrt{3}^4 \end{aligned}\]
Bovenstaande regels kun je gebruiken om vierdemachtswortels te vereenvoudigen.
Een onvereenvoudigbare vierdemachtswortel en de standaardvorm van een vierdemachtswortel De vierdemachtswortel van een natuurlijk getal groter dan 1, zeg \(\sqrt[4]{n}\), heet onvereenvoudigbaar als \(n\) geen vierde macht van een natuurlijk getal groter dan 1 als deler heeft en ook niet gereduceerd kan worden tot een vierkantswortel omdat het getal onder het wortelteken een kwadraat is. Zo is \(\sqrt[4]{24}=\sqrt[3]{2^3\times 3}\) een onvereenvoudigbare vierdemachtswortel, maar \(\sqrt{36}\) en \(\sqrt[4]{1250}\) niet, want \[\begin{aligned}\sqrt[4]{36}&=\sqrt[4]{6^2}\\ &=\sqrt{6}\\ \\ \sqrt[4]{1250} &=\sqrt[4]{625\times 2}\\ &=\sqrt[4]{5^4\times 2}\\ &=\sqrt[4]{5^4}\times\sqrt[4]{2}\\ &=5\times \sqrt[4]{2}\end{aligned}\] De laatste uitdrukking schrijven we meestal korter als \(5\sqrt[4]{2}\).
Elke vierdemachtwortel van een natuurlijk getal groter dan 1 kan geschreven worden in standaardvorm, d.w.z. als een natuurlijk getal, een vierkantswortel, of als het product van een natuurlijk getal en een onvereenvoudigbare vierdemachtswortel.
De uitdrukking \(m\sqrt[4]{n}\) voor gehele getallen \(m\) en \(n>1\) is dus in standaardvorm als
- er geen vierdemacht van een natuurlijk getal groter dan 1 bestaat dat \(n\) deelt, en
- \(n\) ongelijk is aan een kwadraat.
Je vindt de standaardvorm van een vierdemachtswortel door 'alle vierde machten buiten de vierdemachtswortel te halen' en de vierdemachtswortel van een kwadraat te reduceren tot een vierkantswortel. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
In dit geval kunnen we schrijven: \[\begin{aligned}1875&=625\times 3\\ \\ &={5}^4\times 3\end{aligned}\] Dit volgt bijvoorbeeld uit de priemontbinding van \(1875\): \[1875=3\times 5^4\] Eenmaal de grootste vierde macht gevonden die een deler is van \(1875\) passen we de rekenregels \[\sqrt[4]{m\times n} = \sqrt[4]{m}\times\sqrt[4]{n}\] en \[\sqrt[4]{n^4}=n\] voor natuurlijke getallen \(m\) en \(n\) toe: \[\begin{aligned} \sqrt[4]{1875} &= \sqrt[4]{{5}^4\times 3}\\ \\ &=\sqrt[4]{{5}^4}\times \sqrt[4]{3}\\ \\ &=5\sqrt[4]{3}\end{aligned}\]
Nu we weten hoe tweede- derde- en vierdemachtswortels behandeld kunnen worden is de weg vrij voor hogeremachtswortels.
Hogere machtswortels In het algemeen is de \(n\)-demachtswortel \(\sqrt[n]{a}\) van \(a\) het getal \(w\) waarvoor geldt dat \(w^n =a\), met dien verstande dat \(a\ge 0\) moet zijn wanneer \(n\) even is. Als \(n\) even is, dan geldt \(w^n=(-w)^n\) en zijn er twee kandidaten voor de wortel: conventie is om dan het positieve getal te kiezen. We noteren deze wortel ook wel als \(a^{\frac{1}{n}}\).
Rekenregels voor hogeremachtswortels
\[\begin{aligned} \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}&=\sqrt[n]{a\times b}\\ \\ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\ \\ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m &= \sqrt[n]{a^m}\\ \\ \left(\sqrt[n]{a}\right)^n &=a \\ \\ \sqrt[m\times n]{a^{m}} &= \sqrt[n]{a}\end{aligned}\] Als \(n\) even is gelden deze regels alleen voor positieve waarden van \(a\) en \(b\).
Standaardvorm van hogeremachtswortels
De uitdrukking \(\frac{a}{b}\sqrt[n]{c}\), waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) positieve natuurlijke getallen zijn, heet een standaardvorm voor een hogeremachtswortel van een positief rationaal getal als
- \(\frac{a}{b}\) een onvereenvoudigbare breuk is,
- \(c\) geen \(n\)-de macht ander dan \(1\) als deler heeft, en
- \(c\) ongelijk is aan een \(d\)-de macht voor elke deler \(d\) van \(n\)
De derde voorwaarde is nieuw ten opzichte van de gevallen \(n=2\) en \(n=3\) en houdt verband met de laatste van bovenstaande rekenregels.
De standaardvorm van \(\sqrt[6]{144}\) is bijvoorbeeld \(\sqrt[3]{12}\), want \(144 = 2^4\times 3^2=(2^2\times 3)^2 = 12^2\), zodat \(\sqrt[6]{144}=\sqrt[6]{12^2}=\sqrt[3]{12}\).
Je kunt de volgende priemontbinding gebruiken: \[504={2}^{3}\times {3}^{2}\times {7}\]
\[\begin{aligned} \sqrt[3]{504} &=\sqrt[3]{{2}^{3}\times {3}^{2}\times {7}} & \blue{\text{priemontbinding}}\\ \\ &= 2\times \sqrt[3]{ {} {{3}^{2}\times } 7 } & \blue{\text{derde macht buiten de wortel gehaald}} \\ \\ &= 2 \sqrt[3]{63} & \blue{\text{standaardvorm}}\end{aligned}\]
