Rekenen met letters: Rekenen met letters
Factoren buiten haakjes brengen
Factoren buiten haakjes halen
Het natuurlijke getal \(6\) kan je schrijven als product van de factoren \(2\) en \(3\). Zoiets kun je ook met algebraïsche uitdrukkingen doen.
Door de distributieve eigenschappen andersom te lezen krijg je: \[\begin{aligned}ab+ac&=a(b+c)\\[0.2cm] ac+bc&=(a+b)c\\[0.2cm] ab-ac&=a(b-c)\\[0.2cm] ac-bc&=(a-b)c\end{aligned}\] Hiermee kun je een term buiten haakjes brengen en tot een uitdrukking met factoren komen.
Voorbeelden
\[\begin{aligned}-4a+12&=4\cdot -a+4\cdot 3\\ &=4(-a+3)\\ \\6x^3-2x^2&=2x\cdot 3x^2-2x^2\\ &=x^2(3x-1)\\ \\3pq-6pr+3p^2&=3p\cdot q-3p\cdot 2r +3p\cdot p\\ &=3p(q-2r+p) \end{aligned}\]
We geven nog twee voorbeelden.
\[\begin{aligned}a^3-a&=a(a^2-1)\\ &=a(a+1)(a-1)\\ \\ 2a^3b^3+6ab^5&= 2ab^3(a^2+3b^2)\end{aligned}\]
Het eerste voorbeeld laat zien dat er weer meerdere mogelijkheden zijn: de eerste schrijfwijze ontstaat door gemeenschappelijke termen te herkennen in de oorspronkelijk uitdrukking, maar de tweede schrijfwijze is niet zo evident. Bij factoren buiten haakjes halen beperken we ons in de opgaven in eerste instantie tot de eerste soort van ontbinden: alleen direct herkenbare factoren worden buiten haakjes gebracht en aan de linkerkant geplaatst.
Bij het tweede voorbeeld is er geen twijfel mogelijk: in \(a^2+3b^2\) zijn verder geen factoren meer buiten haakjes te brengen (tenminste als je rekent met reële getallen). Dit volledige proces noemen we het ontbinden in factoren. en het resultaat noemen we een ontbonden vorm of gefactoriseerde vorm. Op de volgorde van de termen in het product en vermenigvuldiging met constanten na is de gefactoriseerde vorm uniek.
