Rekenen met letters: Rekenen met letters
Factorisatie van een kwadratische veelterm via de som-product-methode
Een kwadratische vergelijking in de variabele \(x\) is een uitdrukking van de vorm \[ax^2+bx+c\] voor zekere getallen \(a\), \(b\) en \(c\) met \(a\neq0\). De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat \(a=1\).
De som-product-methode
Bij de som-product-methode, ook wel product-som-methode of factorisatie door inspectie genoemd, proberen we \(x^2+b\,x+c\) te factoriseren tot \((x+p)(x+q)\) voor zekere getallen \(p\) en \(q\). Als je de haakjes wegwerkt in de ontbonden vorm, dan krijgen we dus \[x^2+b\,x+c=x^2+(p+q)x+p\times q\text.\] We moeten dus twee getallen \(p\) en \(q\) vinden zodanig dat \[p+q=b\quad\mathrm{en}\quad p\times q=c\text.\]
Voorbeelden
\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\] want \(1+2=3\) en \(1\times 2=2\).
\[x^2-x-12=(x-4)(x+3)\] want \(-4+3=-1\) en \(-4\times 3=-12\).
Je zoekt gehele getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(z^2+7z + 12=(z+p)(z+q)\).
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan: \[z^2+7z + 12=z^2+(p+q)z+p\times q\] Je zoekt dus getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(p+q=7\) en \(p \times q= 12\).
Omdat je \(p\) en \(q\) mag verwisselen volstaat een keuze van \(p\) met \(p^2\le 12\),
d.w.z. een keuze van \(p\) met \(|p|\le\sqrt{12}\approx 3.464\).
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen: \[\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & 12 & 13\\ \hline -1 & -12 & -13\\ \hline 2 & 6 & 8\\ \hline -2 & -6 & -8\\ \hline 3 & 4 & 7\\ \hline -3 & -4 & -7\\ \hline \end{array}\] \(p=3\) en \(q=4\) voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt: \[z^2+7z + 12=(z+3)(z+4)\]
We hebben de som-product-methode gekoppeld aan kwadratische veeltermen, maar soms staan die een beetje verdekt opgesteld in algebraïsche uitdrukkingen. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
Merk eerst op dat alle termen deelbaar zijn door \(a^2\) zodat \[a^{4}+6a^{3} + 8a^2=a^2(a^2+6 a + 8)\] en de kwadratische veelterm tussen de haakjes in de vorm is waarop de som-product-methode met gehele coëfficiënten van toepassing is.
Je zoekt nu nog gehele getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(a^2+6 a + 8=(a+p)(a+q)\).
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan: \[a^2+6a + 8=x^2+(p+q)a+p\times q\] Je zoekt dus getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(p+q=6\) en \(p \times q= 8\).
Omdat je \(p\) en \(q\) mag verwisselen volstaat een keuze van \(p\) met \(p^2\le 8\),
d.w.z. een keuze van \(p\) met \(|p|\le\sqrt{8}\approx 2.828\).
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen: \[\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & 8 & 9\\ \hline -1 & -8 & -9\\ \hline 2 & 4 & 6\\ \hline -2 & -4 & -6\\ \hline \end{array}\] \(p=4\) en \(q=2\) voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt: \[a^2+6a + 8=(a+4)(a+2)\] Het eindresultaat is dus: \[a^{4}+6a^{3} + 8a^2=a^2(a+4)(a+2)\]
Mathcentre video
Factorization of a Quadratic Equation by Inspection (42:36)
