Rekenen met letters: Rekenen met letters
Factorisatie van een kwadratische veelterm via de som-product-methode
Een kwadratische vergelijking in de variabele \(x\) is een uitdrukking van de vorm \[ax^2+bx+c\] voor zekere getallen \(a\), \(b\) en \(c\) met \(a\neq0\). De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat \(a=1\).
De som-product-methode
Bij de som-product-methode, ook wel product-som-methode of factorisatie door inspectie genoemd, proberen we \(x^2+b\,x+c\) te factoriseren tot \((x+p)(x+q)\) voor zekere getallen \(p\) en \(q\). Als je de haakjes wegwerkt in de ontbonden vorm, dan krijgen we dus \[x^2+b\,x+c=x^2+(p+q)x+p\times q\text.\] We moeten dus twee getallen \(p\) en \(q\) vinden zodanig dat \[p+q=b\quad\mathrm{en}\quad p\times q=c\text.\]
Voorbeelden
\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\] want \(1+2=3\) en \(1\times 2=2\).
\[x^2-x-12=(x-4)(x+3)\] want \(-4+3=-1\) en \(-4\times 3=-12\).
Je zoekt gehele getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(a^2+5a + 6=(a+p)(a+q)\).
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan: \[a^2+5a + 6=a^2+(p+q)a+p\times q\] Je zoekt dus getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(p+q=5\) en \(p \times q= 6\).
Omdat je \(p\) en \(q\) mag verwisselen volstaat een keuze van \(p\) met \(p^2\le 6\),
d.w.z. een keuze van \(p\) met \(|p|\le\sqrt{6}\approx 2.449\).
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen: \[\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & 6 & 7\\ \hline -1 & -6 & -7\\ \hline 2 & 3 & 5\\ \hline -2 & -3 & -5\\ \hline \end{array}\] \(p=3\) en \(q=2\) voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt: \[a^2+5a + 6=(a+3)(a+2)\]
We hebben de som-product-methode gekoppeld aan kwadratische veeltermen, maar soms staan die een beetje verdekt opgesteld in algebraïsche uitdrukkingen. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
Merk eerst op dat alle termen deelbaar zijn door \(t\) zodat \[t^{3}-t^{2} -2t=t(t^2-t -2)\] en de kwadratische veelterm tussen de haakjes in de vorm is waarop de som-product-methode met gehele coëfficiënten van toepassing is.
Je zoekt nu nog gehele getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(t^2-t -2=(t+p)(t+q)\).
Wegwerken van haakjes in het rechterlid geeft dan: \[t^2-t -2=x^2+(p+q)t+p\times q\] Je zoekt dus getallen \(p\) en \(q\) zodanig dat \(p+q=-1\) en \(p \times q= -2\).
Omdat je \(p\) en \(q\) mag verwisselen volstaat een keuze van \(p\) met \(p^2\le 2\),
d.w.z. een keuze van \(p\) met \(|p|\le\sqrt{2}\approx 1.414\).
We maken een tabel van mogelijkheden met gehele getallen: \[\begin{array}{||r|r|r||} \hline p & q & p+q\\ \hline 1 & -2 & -1\\ \hline -1 & 2 & 1\\ \hline \end{array}\] \(p=-2\) en \(q=1\) voldoen aan de gewenste eigenschappen.
De ontbinding in factoren is als volgt: \[t^2-t -2=(t-2)(t+1)\] Het eindresultaat is dus: \[t^{3}-t^{2} -2t=t(t-2)(t+1)\]
Mathcentre video
Factorization of a Quadratic Equation by Inspection (42:36)
