Splitsen en onder één noemer brengen

Rekenen met letters: Breuken met letters

Splitsen en onder één noemer brengen

Rationale uitdrukkingen

Bij rekenen met getallen zijn we al rekenregels voor breuken tegengekomen. Deze blijven gelden als in breuken variabelen voorkomen want het worden gewone breuken zodra je getallen voor de variabelen invult. We spreken dan van rationale uitdrukkingen. Het enige waar je bij dat invullen in rationale uitdrukkingen voor op moet passen, is dat de noemer niet nul mag worden.

Voorbeelden

$\frac{x+1}{x-1}$

$\frac{a+b}{a^2+b^2}$

Gelijkwaardigheid van uitdrukkingen Teller en noemer in een rationale uitdrukking kan je gerust door een getal ongelijk aan nul delen ter vereenvoudiging. Bijvoorbeeld:

$\frac{2x^2+2x}{2x}=\frac{x^2+x}{x}$ Welke waarde voor $x$ je ook invult, het resultaat is voor beide uitdrukkingen gelijk. We spreken van gelijkwaardige uitdrukkingen of equivalente uitdrukkingen.

In de uitdrukking aan de rechterkant in het voorbeeld kun je niet $x=0$ invullen, maar voor alle andere substituties kun je teller en noemen wel door $x$ delen en krijg je dan

$\frac{x^2+x}{x}=x+1\text.$ De uitdrukking aan de rechterkant is natuurlijk een stuk gemakkelijker, maar strikt formeel zijn $\dfrac{x^2+x}{x}$ en $x+1$ verschillende wiskundige uitdrukkingen omdat er andere voorwaarden aan verbonden zijn.

In het vervolg zullen we vaak losjes omgaan met dergelijke voorwaarden en ze niet meer expliciet vermelden. We gaan er dan stilzwijgend van uit dat de getalswaarden van de variabelen, als ze gekozen worden, buiten deze 'verboden' gebieden blijven.

De vereenvoudiging

$\frac{x}{x^2+x}=\frac{1}{x+1}$ is alleen juist als $x\neq 0$ en $x\neq -1$ omdat je anders deelt door nul in de uitdrukking aan de linkerkant. Maar de voorwaarde $x\neq 0$ is niet meer nodig voor de uitdrukking aan de rechterkant. Bij een herleiding van $\dfrac{x}{x^2+x}$ naar $\dfrac{1}{x+1}$ is dus weinig aan de hand omdat de vereenvoudigde vorm gedefinieerd is voor alle getallen waarvoor de oorspronkelijke uitdrukking ook al gedefinieerd is; er zijn geen voorwaarden stiekem bijgekomen. Als je de gelijkheid van rechts naar links leest en dus uitgaat van een vermenigvuldiging van een teller en noemer met $x$ is er wel een probleempje omdat er een nieuwe voorwaarde bijkomt, namelijk $x\neq 0$ .

Het hangt af van het probleem of de situatie wanneer je de voorwaarden expliciet boekhoudt en opschrijft voor welke getallen de uitdrukkingen allemaal gedefinieerd zijn. Als $x$ symbool is voor een grootheid die alleen maar positieve waarden kan aannemen, dan mag de formulemanipulatie

$\frac{x}{x^2+x}=\frac{1}{x+1}$ gedaan worden zonder veel woorden vuil te maken aan de onderliggende voorwaarden voor de vereenvoudiging. Teller en noemer delen door $x$ levert dan geen problemen op.

Optellen en aftrekken van breuken met letters
Optellen en aftrekken van gaat net als bij gewone breuken: als de breuken in een som of verschil dezelfde noemer hebben, dan is de noemer van het eindresultaat hetzelfde en het enige wat je hoeft te doen is de tellers bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken. Anders moet je de breuken eerst onder één noemer brengen. Twee voorbeelden:

$\begin{aligned}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}&=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\\[0.25cm] &=\frac{a+b}{ab}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}&=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}+\frac{z}{xyz}\\[0.25cm] &=\frac{x+y+z}{xyz}\end{aligned}$

Splitsen van breuken met letters
Wat ook veel in praktijk voorkomt, is het splitsen van breuken. Twee voorbeelden:

$\begin{aligned}\frac{x^2+1}{x}&=\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}\\[0.25cm]&=x+\frac{1}{x}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{1}{x(x-1)}&=\frac{x-(x-1)}{x(x-1)}\\[0.2cm] &=\frac{x}{x(x-1)}-\frac{x-1}{x(x-1)}\\[0.2cm] &=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\end{aligned}$

In het voorbeeld $\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}$ zie je aan de breuksplitsing dat bij invulling van een erg groot getal voor $x$ de uitkomst erg weinig afwijkt van het getal zelf. Breuksplitsing brengt hier de structuur van de algebraïsche uitdrukking meer op de voorgrond.