Oplossen van een eerstegraadsongelijkheid via vergelijkingen

Je kunt een eerstegraadsongelijkheid ook oplossen door

eerst het vergelijkingsteken in de ongelijkheid door een gelijkteken te vervangen,
vervolgens deze vergelijking op te lossen, en
tenslotte het teken van de ongelijkheid te bepalen op punten links en rechts van de oplossing van de vergelijking.

Bepaal de exacte oplossing van de ongelijkheid \[3x -10 \le 5x {\,+\,}1\] via vergelijkingen.

\(x \ge -{{11}\over{2}}\)

We volgen het stappenplan:

Zoek uit of de oplossingen links of rechts van \(-{{11}\over{2}}\) op de getallenlijn staan.
- Bereken eerst het linker- en rechterlid van de ongelijkheid \(3x -10 \le 5x {\,+\,}1\) als je een waarde voor \(x\) invullen kleiner dan of gelijk aan \(-{{11}\over{2}}\). Als je bijvoorbeeld \(x=-10\) invult, dan krijg je \(-40 \le -49\) en dit is een onware bewering. Elke andere waarde van \(x\) kleiner dan of gelijk aan \(-{{11}\over{2}}\) mag ook gebruikt worden en je krijgt steeds een onware bewering.
- Bereken daarna het linker- en rechterlid van de ongelijkheid \(3x -10 \le 5x {\,+\,}1\) als je een waarde voor \(x\) invullen groter dan of gelijk aan \(-{{11}\over{2}}\). Als je bijvoorbeeld \(x=10\) invult, dan krijg je \(20 \le 51\) en dit is een ware bewering. Elke andere waarde van \(x\) groter dan of gelijk aan \(-{{11}\over{2}}\) mag ook gebruikt worden en je krijgt steeds een ware bewering.
- Uit deze twee getalsvoorbeelden volgt dat oplossingen \(x\) van \(3x -10 \le 5x {\,+\,}1\) moeten voldoen aan \(x \ge -{{11}\over{2}}\).
  In onderstaande getallenlijn zijn de punten waar de ongelijkheid geldt in groen aangegeven. Een open cirkel rondom \(x=-{{11}\over{2}}\) geeft aan dat we te maken hebben met een ongelijkheid van het type \(\lt\) of \(\gt\), waarbij in dit geval het punt zelf geen oplossing is. Een gesloten cirkel duidt een ongelijkheid van het type \(\le\) of \(\ge\) aan en dan hoort het getekende punt op de getallenlijn wel bij de oplossingsverzameling.