Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Eerstegraadsongelijkheden met één onbekende
Oplossen van een stelsel van ongelijkheden met één onbekende
In de kantlijn hebben we al opgemerkt dat bijvoorbeeld \(-1<x<1\) een compacte schrijfwijze voor \(-1<x\) en \(x<1\), ook wel genoteerd met de logische operator \(\wedge\) voor 'en' als \(-1<x\;\wedge\;x<1\). Omdat \(-1<x\) equivalent is met \(x>-1\) betekent \(-1<x<1\) dus '\(x\) groter dan \(-1\) en kleiner dan \(1\)'. Een meer uitgebreide notatie hiervoor is een stelsel van ongelijkheden; in dit voorbeeld: \[\left\{\;\begin{aligned} x &> -1 \\ x&<1\end{aligned} \right.\]
In het algemeen bestaat bij een stelsel van ongelijkheden met één onbekende een oplossing uit een beschrijving van alle waarden van deze onbekende waarvoor aan alle ongelijkheden is voldaan. Het stelsel \[\lineqs{x+2 &\ge& 3\cr 4x-5&<&6\cr}\] is bijvoorbeeld een andere schrijfwijze voor \[(x+2\ge3)\;\wedge\;(4x-5<6)\] De oplossing bestaan uit een beschrijving van de voorwaarden waaraan \(x\) moet voldoen in een vorm waarin de variabele \(x\) geïsoleerd is. In dit voorbeeld: \[(x\ge1)\;\wedge\;(x<\frac{11}{4})\] en dit schrijven we vaak korter op als \[1\le x<\frac{11}{4}\] Een andere notatie voor de oplossingsverzameling, waarin de onbekende niet meer voor komt, is die van een halfopen interval \([1,\tfrac{11}{4})\) of \([1,2\tfrac{3}{4})\).
Oplossen door herleiding Bij het oplossen van een stelsel van ongelijkheden met één onbekende door herleiding
- los je eerst elke ongelijkheid afzonderlijk op d.m.v. herleiding,
- combineer je de tussenuitkomsten met de logische operator \(\wedge\) voor 'en',
- vereenvoudig je de logische uitdrukking waar mogelijk.
Oplossen via vergelijkingen Bij het oplossen van een stelsel van ongelijkheden met één onbekende via vergelijkingen
- los je eerst elke ongelijkheid afzonderlijk op via vergelijkingen;
- combineer je de tussenuitkomsten met de logische operator \(\wedge\) voor 'en',
- vereenvoudig je de logische uitdrukking waar mogelijk.
Immers,
als je de twee ongelijkheden afzonderlijk oplost, dan krijg je \[\lineqs{x&\ge& {{4}\over{3}}\cr x&\ge&-{{3}\over{2}}\cr}\] Omdat \(-{{3}\over{2}}<{{4}\over{3}}\) volgt dat de oplossing enkel bestaat uit waarden van \(x\) groter dan of gelijk aan \({{4}\over{3}}\).
