Het begrip tweedegraadsvergelijking met één onbekende

Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende

Het begrip tweedegraadsvergelijking met één onbekende

Oplossen van een kwadratische vergelijking met één onbekende door herleiding Stel dat \(x\) het getal \(3\) voorstelt, dan geldt bijvoorbeeld: \(x^2-2x=4x-9\). Dit betekent dat \(x=3\) voldoet aan de vergelijking \(x^2-2x=4x-9\). We noemen dit een tweedegraadsvergelijking of een kwadratische vergelijking omdat er een kwadraat in voor komt. Voor het getal 3 kun je nog veel meer kwadratische vergelijkingen opschrijven waaraan het voldoet (bijvoorbeeld, \(x^2-x-1=5x-10\)).

In praktijk is de situatie andersom: dan is \(x\) een nog onbekend getal dat voldoet aan de vergelijking \(x^2-2x=4x-9\) en ben je benieuwd naar de waarde van \(x\). Met andere woorden je wilt de kwadratische vergelijking oplossen. Dit kan door herleiding van de vergelijking tot een basisvorm dat wil zeggen door een gelijkwaardige kwadratische vergelijking op te schrijven die een basisgedaante waarvoor oplossingsmethoden of zelf formules voor oplossingen bekend zijn. In het gekozen voorbeeld kan dat als volgt:

Oplossing van de vergelijking \(x^2-2x=4x-9\).

Trek bij het linker- en rechterlid \(4x\) af: \(\;x^2-2x-4x=4x-9-4x\),
hetgeen vereenvoudigt tot \(\;x^2-6x=-9\).
Tel bij het linker- en rechterlid \(9\) op: \(\; ;x^2-6x+9=-9+9\),
hetgeen vereenvoudigt tot \(\;x^2-6x+9=0\).
De vergelijking is nu in een basisvorm.
Herken het linkerlid als een merkwaardig product : \(\;(x-3)^2=0\).

De oplossing is dus \(x=3\).

De stappen in het komen tot een basisvorm van de kwadratische vergelijking door herleiding zijn:

aan beide zijden dezelfde term optellen of aftrekken;
beide zijden met hetzelfde getal ongelijk aan nul vermenigvuldigen of delen;
gelijksoortige termen samenvoegen.

Het kan gebeuren dat je uiteindelijk aanbelandt bij een kwadratische vergelijking die onmogelijk waar kan zijn binnen de verzameling van reële getallen. Dit betekent dat de oorspronkelijke vergelijking (en alle herleidingen hiervan) geen reële oplossing heeft.

Voorbeeld met geen reële oplossingen Stel dat je de vergelijking \(x^2+3x+1=x-1\) probeert op te lossen. Als je van de linker- en rechterkant \(x\) aftrekt, dan krijg je de vergelijking \(x^2+2x+1=-1\) die je kunt herschrijven als \((x+1)^2=-1\), Omdat een kwadraat van een reëel getal niet negatief kan zijn, heeft de kwadratische vergelijking geen reële oplossing. We zullen stilzwijgend aannemen in deze sectie dat we altijd kwadratische vergelijkingen oplossen binnen de verzameling van reële getallen.

We eindigen deze theoriepagina met gangbare terminologie die we in het vervolg ook zullen gebruiken.

Algemene terminologie Laat \(x\) een variabele zijn.

Een tweedegraadsvergelijking met onbekende \(x\) is een vergelijking die via elementaire operaties herleid kan worden tot een basisvorm \[ax^2+ bx+c = 0\] waarbij \(a, b\) en \(c\) getallen zijn en \(a\neq 0\). We spreken ook wel van een kwadratische vergelijking met onbekende \(x\).

Er is geen unieke basisvorm: de vergelijkingen \(2x^2+2x+2=0\) en \(x^2+x+1=0\) hebben beiden de basisvorm, maar zijn verschillend en kunnen toch door elementaire bewerkingen in elkaar overgevoerd worden.

Onder een elementaire bewerking verstaan we haakjes wegwerken, het hergroeperen van deeluitdrukkingen, het aan beide zijden van de vergelijking optellen en aftrekken van gelijke uitdrukkingen, of het aan beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen en delen met een getal ongelijk aan nul. We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn.

Een vergelijking bestaat uit twee delen: de uitdrukking links van het gelijkteken (\(=\)) heet het linkerlid of de linkerkant van de vergelijking (hierboven is dat \(ax+ b\)) en de uitdrukking rechts ervan heet het rechterlid of de rechterkant (hierboven is dat \(0\)).

De uitdrukkingen \(ax^2\), \(bx\) en \(c\) in het linkerlid van de basisvorm heten termen. Het getal \(a\) is de coëfficiënt van \(x^2\) en we noemen \(ax^2\) de kwadratische term in de vergelijking. Het getal \(b\) is de coëfficiënt van \(x\) en we noemen \(bx\) de lineaire term in de vergelijking. Termen waarin de onbekende \(x\) niet staat heten constante termen, of kortweg constanten (hierboven zijn dat de getallen \(c\) en \(0\)).

Een getal \(s\) heet een oplossing van de vergelijking als invullen van \(x=s\) in de vergelijking een ware bewering oplevert. Alle waarden van \(x\) waarvoor de vergelijking waar is vormen de oplossing van de vergelijking.

Twee kwadratische vergelijkingen heten gelijkwaardig of equivalent wanneer ze dezelfde oplossingen hebben omdat ze via elementaire bewerkingen in elkaar kunnen worden omgezet.
Om aan te geven dat twee vergelijkingen equivalent zijn kan het symbool \(\Leftrightarrow\) gebruikt worden; bijvoorbeeld \(8x^2=2\Leftrightarrow 4x^2=1\) en \(4x^2=1\Leftrightarrow (2x)^2=1\).

Als twee vergelijkingen tot eenzelfde basisvorm herleid kunnen worden dan zijn ze equivalent.

De vergelijkingen \(\;\frac{x+2}{x-1}=x+1\;\) en \(\;|x^2-1|=|-x^2-2x|\;\) zijn weliswaar op te lossen via kwadratische vergelijkingen (ga dit zelf na), maar toch noemen we ze geen kwadratische vergelijkingen omdat de linkerkant van de eerste vergelijking een rationale uitdrukking is en de tweede vergelijking absolute waarden bevat. Hierdoor is er geen elementaire herleiding tot de basisvorm van een kwadratische vergelijking.

De vergelijkingen \((x^2-1)^2=(x^2+1)^2\) en \((x^2+2)^2=(x^2+1)^2\) beschouwen we wel als kwadratisch, omdat haakjes wegwerken en termen hergroeperen leiden tot de vergelijkingen \(4x^2=0\) en \(2x^2+3=0\). Het zou te gekunsteld zijn om deze vergelijkingen als vierdegraadsvergelijkingen op te vatten, enkel en alleen omdat er in de oorspronkelijke vergelijkingen bij haakjes wegwerken en vierdegraadsterm \(x^4\) staat.

Daarentegen noemen we de vergelijking \(\sqrt{(x^2-1)^2+4x^2}=0\) niet kwadratisch, hoewel deze te herleiden is tot \(x^2+1=0\). Maar de herleiding bevat een niet-elementaire stap: de overgang van \(\sqrt{(x^2+1)^2}=0\) naar \(x^2+1=0\).

Het begrip equivalentie van vergelijkingen kan ook toegepast worden voor niet-kwadratische vergelijkingen:

Twee vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossing hebben.

Elk van de twee niet-kwadratische vergelijkingen \((x^2-1)^3=0\;\) en \((x^2-1)^2=0\;\) is equivalent met de kwadratische vergelijking \(x^2-1=0\) en hebben dus dezelfde oplossing. Maar we noemen de oorspronkelijke vergelijkingen toch niet-kwadratisch omdat voor de herleiding tot de kwadratische vergelijking \(x^2-1=0\) een niet-elementaire vereenvoudiging nodig is. Het zijn voorbeelden van zesdegraads- en vierdegraadsvergelijkingen.

Niet-elementaire bewerking

Aan beide zijden van een vergelijking kwadrateren is een voorbeeld van een bewerking die niet elementair is en die niet altijd een vergelijking oplevert die equivalent is met de oorspronkelijke. Als we bijvoorbeeld de vergelijking \(x=5\) aan beide zijden kwadrateren, dan krijgen we \(x^2=25\), een vergelijking die naast \(x=5\) ook als oplossing \(x=-5\) heeft. Bovendien voert deze bewerking een lineaire vergelijking vaak in een niet-lineaire vergelijking over.