Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende
Oplossingen van eenvoudige kwadratische vergelijkingen
Een kwadratische vergelijking heeft 0, 1 of 2 oplossingen. We geven van elk van de drie gevallen een voorbeeld.
Voorbeeld: geen oplossingen De vergelijking \(x^2+1=0\) heeft geen reële oplossingen. Omdat een kwadraat altijd groter dan of gelijk aan \(0\) is, is het linkerlid voor elke keuze van \(x\) groter dan of gelijk aan \(1\).
Voorbeeld: één oplossing De vergelijking \(x^2-2x+1=0\) heeft precies een oplossing. Omdat het linkerlid van de vergelijking geschreven kan worden als \((x-1)^2\) en dit kwadraat alleen maar gelijk aan \(0\) kan zijn als \(x-1=0\), bestaat er maar één oplossing, namelijk \(x=1\).
Voorbeeld: twee oplossingen De vergelijking \(x^2-4=0\) heeft twee oplossingen, namelijk \(x=-2\) of \(x=2\).
Het laatste voorbeeld kan ook als volgt begrepen worden: het linkerlid van de vergelijking, d.w.z. \(x^2-4\), kan geschreven worden als \((x+2)(x-2)\) en dit product kan alleen maar gelijk aan \(0\) zijn als een van de termen in het product gelijk aan \(0\) is. Dus \(x+2=0\) of \(x-2=0\), dat wil zeggen \(x=-2\) of \(x=2\).
We hebben de volgende algemene regel toegepast.
\[A\cdot B = 0\quad\text{dan en slechts dan als }\quad A=0\;\;\text{of}\;\;B=0\text.\] Hierbij moet "of" zo opgevat worden dat \(A\) en \(B\) ook allebei gelijk aan \(0\) kunnen zijn.
In formelere wiskundige taal luidt deze regel \[A\cdot B = 0\quad\iff\quad A=0\;\;\lor\;\;B=0\text.\]
Als een kwadratische vergelijking in factoren is ontbonden kun je dus gemakkelijk de oplossingen aflezen. We geven een nog voorbeeld.
Voorbeeld: a x² +b x = 0 Stel \(a\) en \(b\) zijn reële getallen met \(a\neq0\). \[\begin{aligned} ax^2+bx=0&\implies x\cdot (ax+b)=0\\ \\ &\implies x=0\;\;\text{of}\;\;ax+b=0\\ \\&\implies x=0\;\;\text{of}\;\;x=-\frac{b}{a}\end{aligned}\]
In deze sectie gaan we drie manieren bespreken om oplossingen van een kwadratische vergelijking op te sporen:
- kwadraatafsplitsing
- ontbinding in factoren door inspectie
- de \(abc\)-formule
Maar voordat we dit gaan doen bekijken we nog een eenvoudige kwadratische vergelijking, namelijk van de vorm \(x^2=c\) met een gegeven getal \(c\). Het aantal oplossingen van deze vergelijking hangt af van het teken van \(c\).
Voorbeeld: x² = c
Twee oplossingen
Als \(c>0\) , dan heeft de vergelijking \[x^2=c\] twee oplossingen, namelijk \[x=\sqrt{c}\quad\vee\quad x=-\sqrt{c}\text.\] De parabool en de horizontale lijn \(y=c\) snijden elkaar in twee punten.
Eén oplossing
Als \(c=0\) , dan heeft de vergelijking \[x^2=c\] één oplossing, namelijk \[x=0\text.\]
De parabool en de rechte lijn \(y=0\) hebben één gemeenschappelijk punt, namelijk \((0,0)\).
Geen oplossing
Als \(c<0\) , dan heeft de vergelijking \[x^2=c\] geen oplossing.
De parabool en de horizontale lijn \(y=c\) snijden elkaar niet.
Mathcentre video
Solving Quadratic Equations (50:19)
