Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende
Oplossingen van eenvoudige kwadratische vergelijkingen
Een kwadratische vergelijking heeft 0, 1 of 2 oplossingen. We geven van elk van de drie gevallen een voorbeeld.
Voorbeeld: geen oplossingen De vergelijking heeft geen reële oplossingen. Omdat een kwadraat altijd groter dan of gelijk aan is, is het linkerlid voor elke keuze van groter dan of gelijk aan .
Voorbeeld: één oplossing De vergelijking heeft precies een oplossing. Omdat het linkerlid van de vergelijking geschreven kan worden als en dit kwadraat alleen maar gelijk aan kan zijn als , bestaat er maar één oplossing, namelijk .
Voorbeeld: twee oplossingen De vergelijking heeft twee oplossingen, namelijk of .
Het laatste voorbeeld kan ook als volgt begrepen worden: het linkerlid van de vergelijking, d.w.z. , kan geschreven worden als en dit product kan alleen maar gelijk aan zijn als een van de termen in het product gelijk aan is. Dus of , dat wil zeggen of .
We hebben de volgende algemene regel toegepast.
In formelere wiskundige taal luidt deze regel
Als een kwadratische vergelijking in factoren is ontbonden kun je dus gemakkelijk de oplossingen aflezen. We geven een nog voorbeeld.
Voorbeeld: a x² +b x = 0 Stel en zijn reële getallen met .
In deze sectie gaan we drie manieren bespreken om oplossingen van een kwadratische vergelijking op te sporen:
- kwadraatafsplitsing
- ontbinding in factoren door inspectie
- de -formule
Maar voordat we dit gaan doen bekijken we nog een eenvoudige kwadratische vergelijking, namelijk van de vorm met een gegeven getal . Het aantal oplossingen van deze vergelijking hangt af van het teken van .
Voorbeeld: x² = c
Twee oplossingen
Als , dan heeft de vergelijking
Eén oplossing
Als , dan heeft de vergelijking
De parabool en de rechte lijn hebben één gemeenschappelijk punt, namelijk .
Geen oplossing
Als , dan heeft de vergelijking
De parabool en de horizontale lijn snijden elkaar niet.
Mathcentre video
Solving Quadratic Equations (50:19)