Oplossingen van eenvoudige kwadratische vergelijkingen

Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende

Oplossingen van eenvoudige kwadratische vergelijkingen

Een kwadratische vergelijking heeft 0, 1 of 2 oplossingen. We geven van elk van de drie gevallen een voorbeeld.

De vergelijking $x^2+1=0$ heeft geen reële oplossingen. Omdat een kwadraat altijd groter dan of gelijk aan $0$ is, is het linkerlid voor elke keuze van $x$ groter dan of gelijk aan $1$ .

De vergelijking $x^2-2x+1=0$ heeft precies een oplossing. Omdat het linkerlid van de vergelijking geschreven kan worden als $(x-1)^2$ en dit kwadraat alleen maar gelijk aan $0$ kan zijn als $x-1=0$ , bestaat er maar één oplossing, namelijk $x=1$ .

De vergelijking $x^2-4=0$ heeft twee oplossingen, namelijk $x=-2$ of $x=2$ .

Het laatste voorbeeld kan ook als volgt begrepen worden: het linkerlid van de vergelijking, d.w.z. $x^2-4$ , kan geschreven worden als $(x+2)(x-2)$ en dit product kan alleen maar gelijk aan $0$ zijn als een van de termen in het product gelijk aan $0$ is. Dus $x+2=0$ of $x-2=0$ , dat wil zeggen $x=-2$ of $x=2$ .

We hebben de volgende algemene regel toegepast.

$A\cdot B = 0\quad\text{dan en slechts dan als }\quad A=0\;\;\text{of}\;\;B=0\text.$ Hierbij moet "of" zo opgevat worden dat $A$ en $B$ ook allebei gelijk aan $0$ kunnen zijn.

In formelere wiskundige taal luidt deze regel

$A\cdot B = 0\quad\iff\quad A=0\;\;\lor\;\;B=0\text.$

Als een kwadratische vergelijking in factoren is ontbonden kun je dus gemakkelijk de oplossingen aflezen. We geven een nog voorbeeld.

Stel $a$ en $b$ zijn reële getallen met $a\neq0$ .

$\begin{aligned} ax^2+bx=0&\implies x\cdot (ax+b)=0\\ \\ &\implies x=0\;\;\text{of}\;\;ax+b=0\\ \\&\implies x=0\;\;\text{of}\;\;x=-\frac{b}{a}\end{aligned}$

In deze sectie gaan we drie manieren bespreken om oplossingen van een kwadratische vergelijking op te sporen:

kwadraatafsplitsing
ontbinding in factoren door inspectie
de $abc$ -formule

Maar voordat we dit gaan doen bekijken we nog een eenvoudige kwadratische vergelijking, namelijk van de vorm $x^2=c$ met een gegeven getal $c$ . Het aantal oplossingen van deze vergelijking hangt af van het teken van $c$ .

Voorbeeld: x² = c

Twee oplossingen

Als $c>0$ , dan heeft de vergelijking

$x^2=c$ twee oplossingen, namelijk

$x=\sqrt{c}\quad\vee\quad x=-\sqrt{c}\text.$ De parabool en de horizontale lijn $y=c$ snijden elkaar in twee punten.

GeoGebra

Eén oplossing

Als $c=0$ , dan heeft de vergelijking

$x^2=c$ één oplossing, namelijk

$x=0\text.$

De parabool en de rechte lijn $y=0$ hebben één gemeenschappelijk punt, namelijk $(0,0)$ .

GeoGebra

Geen oplossing

Als $c<0$ , dan heeft de vergelijking

$x^2=c$ geen oplossing.

De parabool en de horizontale lijn $y=c$ snijden elkaar niet.

GeoGebra

Vind de exacte reële oplossing van

$x^2-5=-4$ door middel van herleiding.

$\begin{aligned} x^2-5=-4 &\implies x^2=-4+5=1 \\ &\qquad \blue{\text{links en rechts }5\text{ opgeteld}}\\ &\implies x^2=\frac{1}{1}=1=1^2\\ &\qquad\blue{\text{isolatie van }x^2\text{ en de rechterkant ook als kwadraat geschreven}}\\ &\implies x=1\quad\lor\quad x=-1\\ &\qquad\blue{\text{worteltrekking aan weerszijden}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Solving Quadratic Equations (50:19)