Kwadraatafsplitsing

Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende

Kwadraatafsplitsing

Kwadraatafsplitsing is een bruikbare methode voor berekenen van de top en eventuele nulpunten van een kwadratische functie. Het vinden van nulpunten komt neer op het herleiden van een kwadratische vergelijking van de vorm

$ax^2+bx+c=0$ tot een vergelijking van de vorm

$a(x+p)^2+q=0$ voor zekere reële getallen $a$ , $b$ , $c$ , $p$ , en $q$ met $a\neq 0$ .

Wanneer een kwadratische functie eenmaal in de vorm $a(x+p)^2+q$ herschreven is, dan zijn de coördinaten van de top gelijk aan $(-p,q)$ .

GeoGebra

Een voorbeeld legt de methode uit.

Voorbeeld van kwadraatafsplitsing Om de vergelijking

$x^2+6x-7=0$ op te lossen schrijven we die vergelijking als

$x^2+6x+9=16$ waardoor het linkerlid te herleiden is tot een kwadraat, namelijk $(x+3)^2$ . Immers

$x^2+6x+9=(x+3)^2$ Het oplossen van de vergelijking die zo ontstaat is op te lossen met de basistechnieken:

$x+3=4\quad\text{of}\quad x+3=-4$ en de oplossing is dus

$x=1\quad\text{of}\quad x=-7$

De methode uit bovenstaand voorbeeld is algemeen bruikbaar voor een kwadratische vergelijking $ax^2+bx+c=0$ : we mogen veronderstellen dat de coëfficiënt van $x^2$ gelijk is aan 1 is (d.w.z. $a=1$ ), anders deel je de vergelijking eerst door $a$ om de kopcoëfficiënt gelijk aan $1$ te hebben. Neem nu de helft van de coëfficiënt van $x$ om in het linkerlid een kwadraat te maken, dat wil zeggen, kies deze getalswaarde voor $p$ . Met andere woorden, kies $p=\frac{b}{2}$ . Reken uit wat de constante aan de rechterkant van de vergelijking wordt, met andere woorden, bereken $-q=\frac{b^2}{4}-c$ . Als de constante $-q$ negatief is, dan zijn er geen oplossingen. Als deze constante gelijk aan nul is, dan is er precies één oplossing, namelijk $x=-q$ . Als deze constante positief is, dan zijn er twee oplossingen.

Als $a\neq 0$ en $a\neq 1$ , dan kun je ook de formule voor kwadraatafspliting bepalen: elke kwadratische functie

$f(x)=ax^2+bx+c$ is te schrijven als

$f(x)=a(x+p)^2+q$ met

$p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{D}{4a}\quad\text{en}\quad D=b^2-4ac$ De uitdrukking $D=b^2-4ac$ heet de discriminant van de kwadratische functie $f(x)=ax^2+bx+c$ .

We geven enkele voorbeelden van kwadraatafsplitsen, ook met een coëfficiënt van $x^2$ ongelijk aan 1.

Bereken exact de reële oplossing van onderstaande kwadratische vergelijking via kwadraatsafsplitsen.

$x^2+x-2=0$

$x=-{{1}\over{2}}+\frac{3}{2}\quad \lor \quad x=-{{1}\over{2}}-\frac{3}{2}$

We schrijven de methode van kwadraatafsplitsen uit

$\begin{aligned} x^2+x-2=0 & \phantom{abcxyz} \blue{\text{de gegeven kwadratische vergelijking}} \\ \\ \left(x+{{1}\over{2}}\right)^2-\left({{1}\over{2}}\right)^2-2=0 &\phantom{abcxyz} \blue{\text{afsplitsing van een kwadraat}}\\ \\ \left(x+{{1}\over{2}}\right)^2-{{9}\over{4}}=0& \phantom{abcxyz} \blue{\text{vereenvoudiging}}\\ \\ \left(x+{{1}\over{2}}\right)^2={{9}\over{4}}& \phantom{abcxyz} \blue{\text{isolatie van het kwadraat}}\\ \\ x+{{1}\over{2}}=\frac{3}{2}\quad \lor \quad x+{{1}\over{2}}=-\frac{3}{2} & \blue{\phantom{abcxyz}\text{twee oplossingen met worteltrekken}} \\ \\ x=-{{1}\over{2}}+\frac{3}{2}\quad \lor \quad x=-{{1}\over{2}}-\frac{3}{2} & \blue{\phantom{abcxyz}\text{herleiding}} \\ \\ x=1\quad\lor\quad x=-2 & \blue{\phantom{abcxyz}\text{vereenvoudiging tot eindantwoord}} \end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{x}$

Mathcentre videos

Completing the Square - Animation (1:50)

$\phantom{x}$

Completing the Square by Inspection (19:38)