Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende
De <i>abc</i>-formule
Stel \(a\), \(b\) en \(c\) zijn reële getallen met \(a\neq 0\).
De discriminant van de kwadratische vergelijking \(ax^2+bx+c = 0\) is gedefinieerd als het getal \(b^2-4\cdot a \cdot c\).
De reden dat we de discriminant (in het vervolg met de letter \(D\) aangeduid) invoeren is dat we nu eenvoudig kunnen formuleren hoeveel reële oplossingen de kwadratische vergelijking heeft en, indien oplossingen bestaan, welke dat dan precies zijn.
De formule hieronder, die de oplossingen en hun aantal direct geeft, heet de abc-formule.
De abc-formule De kwadratische vergelijking \(ax^2+bx+c = 0\) met onbekende \(x\) en discriminant \(D=b^2-4ac\) heeft:
- twee reële oplossingen als \(D\gt 0\), namelijk \(x=\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) en \(x=\dfrac{-b+ \sqrt{D}}{2a}\).
- precies één reële oplossing als \(D=0\), namelijk \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
- geen reële oplossingen als \(D\lt 0\).
De twee oplossingen in het eerste geval worden vaak samen genomen door gebruik te maken van de \(\pm\) notatie; dus \[x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Het antwoord is volgens de abc-formule (na eventuele vereenvoudiging): \[ x=-{{3}\over{2}}-\frac{1}{2}\sqrt{7}\quad\vee\quad x=-{{3}\over{2}}+\frac{1}{2}\sqrt{7}\tiny.\]
