Een wiskundige uitdrukking met een vergelijkingsteken noemen we een ongelijkheid. De vergelijkingstekens zijn: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \lt & \text{kleiner dan} & \le & \text{kleiner dan of gelijk aan} \\ \hline \gt & \text{groter dan} & \ge & \text{groter dan of gelijk aan}\\ \hline\end{array}\]

Een tweedegraadsongelijkheid of kwadratische ongelijkheid met onbekende \(x\) is een ongelijkheid die via elementaire bewerkingen herleid kan worden tot een basisvorm \(ax^2+bx+c<0\), waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) getallen zijn en in plaats van \(\lt\) er ook een van de andere vergelijkingstekens kan staan.

Onder een elementaire bewerking verstaan we haakjes wegwerken, het hergroeperen van deeluitdrukkingen, het aan beide zijden van de vergelijking optellen en aftrekken van gelijke uitdrukkingen, of het aan beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen en delen met een getal ongelijk aan nul.

De oplossing van een tweedegraadsongelijkheid met onbekende \(x\) is in de vorm \(x<C\), \(x\le C\), \(x\ge C\) of \(x\gt C\), waarbij \(C\) een getal is, en logische combinaties hiervan. Deze combinaties worden soms weer samengevat: \(x>1\;\wedge\; x<2\) kan worden geschreven als \(1<x<2\) .

Voorbeelden
\[\begin{aligned}x^2&<2x+3\\ &\phantom{wxyz} \blue{\text{kwadratische ongelijkheid}} \\ x^2&-2x-3<0 \Leftrightarrow\\ &\hspace{-0.6cm}(x-1)^2-4<0\\ &\phantom{wxyz} \blue{\text{equivalente ongelijkheden}}\end{aligned} \]

\(\quad\)De ongelijkheid \(x^2<2x+3\) heeft als
\(\quad\)oplossing \(-1<x< 3\).
\(\quad\)Dit volgt uit onderstaande herleiding: \[\begin{aligned} x^2&<2x+3 &\Leftrightarrow\\ x^2-2x-3&<0 &\Leftrightarrow\\ (x-1)^2-4&<0 &\Leftrightarrow\\ (x-1)^2&<4&\Leftrightarrow\\ -2<x-1&<2&\Leftrightarrow\\ -1<x&< 3\end{aligned}\]
\(\quad\)De ongelijkheid \(x^2+2x+1>9\)
\(\quad\)heeft als oplossing \(x<-4\;\vee\;x>2\).
\(\quad\)Dit volgt uit onderstaande herleiding: \[\begin{aligned} x^2+2x+1&>9 &\Leftrightarrow\\ (x+1)^2&>3^2 &\Leftrightarrow\\ x+1<-3\;\vee\; x+1&>3 &\Leftrightarrow\\ x<-4\;\vee\; x&>2 \end{aligned}\]