\(x<-2 \lor x > 4\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2-8 > 2 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2-8 = 2 x \) oftwel \( x^2-2 x-8 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{2\pm \sqrt{(2)^2-4 \cdot 1 \cdot -8}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}\\ \\ &=\frac{2\pm 6}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=-2\quad \text{of}\quad x=4\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<-2\), bijvoorbeeld \(x=-4\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-4)^2-8=8\] Het rechterlid heeft als waarde \[2 \cdot -4=-8\] dus voor \(x<-2\) geldt dat \(x^2-8 > 2 x\). Nu kiezen we een waarde \(-2<x<4\), bijvoorbeeld \(x=-1\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(-1)^2-8=-7\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[2\cdot -1=-2\] Dus voor \(-2<x<4\) is \(x^2-8 < 2 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>4\), bijvoorbeeld \(x=5\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(5)^2-8=17\] en het rechterlid heeft de waarde \[2 \cdot 5=10\] Dus voor \(x>4\) is \(x^2-8>2 x\). We weten nu dus dat \[x^2-8 > 2 x\] als \(x<-2\) of \(x>4\).