\(x<1 \lor x > 4\)

We hebben de ongelijkheid \[x^2+4 > 5 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2+4 = 5 x \) oftwel \( x^2-5 x+4 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{5\pm \sqrt{(5)^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2}\\ \\ &=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}\\ \\ &=\frac{5\pm 3}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=1\quad \text{of}\quad x=4\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<1\), bijvoorbeeld \(x=-1\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-1)^2+4=5\] Het rechterlid heeft als waarde \[5 \cdot -1=-5\] dus voor \(x<1\) geldt dat \(x^2+4 > 5 x\). Nu kiezen we een waarde \(1<x<4\), bijvoorbeeld \(x=2\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(2)^2+4=8\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[5\cdot 2=10\] Dus voor \(1<x<4\) is \(x^2+4 < 5 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>4\), bijvoorbeeld \(x=5\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(5)^2+4=29\] en het rechterlid heeft de waarde \[5 \cdot 5=25\] Dus voor \(x>4\) is \(x^2+4>5 x\). We weten nu dus dat \[x^2+4 > 5 x\] als \(x<1\) of \(x>4\).