Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen: Tweedegraadsongelijkheden met één onbekende
Oplossen van tweedegraadsongelijkheden via <i>abc</i>-formule en inspectie
Een tweedegraadsongelijkheid kun je oplossen door
- eerst de bijpassende tweedegraadsvergelijking op te lossen;
- daarna uit te zoeken in welke gebied aan de ongelijkheid wel of niet voldaan is;
- tot slot de tussenresultaten te bundelen.
\(x<1 \lor x > 5\)
We hebben de ongelijkheid \[x^2+5 > 6 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2+5 = 6 x \) oftwel \( x^2-6 x+5 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{6\pm \sqrt{(6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2}\\ \\ &=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}\\ \\ &=\frac{6\pm 4}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=1\quad \text{of}\quad x=5\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<1\), bijvoorbeeld \(x=-1\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-1)^2+5=6\] Het rechterlid heeft als waarde \[6 \cdot -1=-6\] dus voor \(x<1\) geldt dat \(x^2+5 > 6 x\). Nu kiezen we een waarde \(1<x<5\), bijvoorbeeld \(x=2\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(2)^2+5=9\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[6\cdot 2=12\] Dus voor \(1<x<5\) is \(x^2+5 < 6 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>5\), bijvoorbeeld \(x=6\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(6)^2+5=41\] en het rechterlid heeft de waarde \[6 \cdot 6=36\] Dus voor \(x>5\) is \(x^2+5>6 x\). We weten nu dus dat \[x^2+5 > 6 x\] als \(x<1\) of \(x>5\).
We hebben de ongelijkheid \[x^2+5 > 6 x\] maar eerst lossen we onderstaande gelijkheid op: \(x^2+5 = 6 x \) oftwel \( x^2-6 x+5 =0\). Dit doen we m.b.v. de abc-formule:
\[\begin{aligned} x&=\frac{6\pm \sqrt{(6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2}\\ \\ &=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}\\ \\ &=\frac{6\pm 4}{2}\end{aligned}\] Dus: \[x=1\quad \text{of}\quad x=5\] Nu moeten we kijken wanneer de ongelijkheid van kracht is. Eerst nemen we een waarde \(x<1\), bijvoorbeeld \(x=-1\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde: \[(-1)^2+5=6\] Het rechterlid heeft als waarde \[6 \cdot -1=-6\] dus voor \(x<1\) geldt dat \(x^2+5 > 6 x\). Nu kiezen we een waarde \(1<x<5\), bijvoorbeeld \(x=2\). Het linkerlid van de ongelijkheid heeft dan als waarde \[(2)^2+5=9\] Het rechterlid van de ongelijkheid heeft dan de waarde \[6\cdot 2=12\] Dus voor \(1<x<5\) is \(x^2+5 < 6 x\). Nu kiezen we nog een waarde \(x>5\), bijvoorbeeld \(x=6\). Dan heeft het linkerlid de waarde \[(6)^2+5=41\] en het rechterlid heeft de waarde \[6 \cdot 6=36\] Dus voor \(x>5\) is \(x^2+5>6 x\). We weten nu dus dat \[x^2+5 > 6 x\] als \(x<1\) of \(x>5\).
Ontgrendel volledige toegang