Het begrip lineaire vergelijking

Stelsels lineaire vergelijkingen: Basisbegrippen en standaardmethoden

Het begrip lineaire vergelijking

Stel dat $x$ het getal $3$ voorstelt en $y$ het getal $2$ . Dan geldt bijvoorbeeld: $x+1=6-y$ . Dit betekent dat $x=3, y=2$ voldoet aan de vergelijking $x+1=6-y$ . Voor de getallen $2$ en $3$ kun je nog veel meer vergelijkingen opschrijven waaraan ze voldoen.

In praktijk is de situatie andersom: $x$ en $y$ zijn onbekende getallen die voldoen aan de vergelijking $x+1=6-y$ en we zijn uit op het vinden van de mogelijke waarden van $x$ en $y$ . Met andere woorden je wilt de vergelijking oplossen. Dan kan dit door herleiding, dat wil zeggen door steeds een gelijkwaardige vergelijking op te schrijven die eenvoudiger is dan de vorige maar wel dezelfde oplossing heeft. In het gekozen voorbeeld kan de vergelijking herleid worden tot $y=5-x$ en dat betekent dat bij een willekeurig gekozen waarde voor $x$ , zeg $x=a$ , de waarde van $y$ gegeven wordt door $y=5-a$ .

Het gekozen voorbeeld is wel van een speciaal type: het betreft namelijk een lineaire vergelijking in $x$ en $y$ . In deze sectie concentreren we ons op het geval van één lineaire vergelijking in één of meerdere onbekenden.

Behalve de letters $x$ , $y$ , en $z$ worden ook geïndexeerde namen gebruikt zoals $x_1$ , $x_2$ en $x_3$ . Bijvoorbeeld $x_1+4x_2+5x_3+6=0$ in plaats van $x+4y+5z+6=0$ . Dit maakt het gemakkelijker om de theorie, de methoden en de technieken op te schrijven voor een willekeurig gekozen aantal van $n$ onbekenden. Conventie is om alleen letters te gebruiken als het aantal variabelen klein ( ${}\le 4$ ) is.

In dit hoofdstuk zullen we de twee notaties naast elkaar gebruiken. In computeropgaven zullen we daarentegen bij voorkeur letters voor variabelen hanteren omdat ze gemakkelijker in te voeren zijn dan geïndexeerde namen.

Laat $x_1,\ldots, x_n$ variabelen zijn.

Een lineaire vergelijking met onbekenden $x_1,\ldots x_n$ is een vergelijking die via elementaire operaties herleid kan worden tot de basisvorm

$a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + b = 0$ waarbij $a_1,\ldots,a_n$ en $b$ reële of complexe getallen zijn. We spreken ook wel van een lineaire vergelijking in $x_1,\ldots, x_n$ .

Er is geen unieke basisvorm: de vergelijkingen $2x-2=0$ en $x-1=0$ hebben beiden de basisvorm, maar zijn verschillend en kunnen toch door elementaire bewerkingen in elkaar overgevoerd worden.

Onder een elementaire bewerking verstaan we haakjes wegwerken, het hergroeperen van deeluitdrukkingen, het aan beide zijden van de vergelijking optellen en aftrekken van gelijke uitdrukkingen, of het aan beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen en delen met een getal ongelijk aan nul. We spreken van een elementaire herleiding als alle stappen in de herleiding elementaire bewerkingen zijn.

De uitdrukking links van het gelijkteken ( $=$ ) heet het linkerlid of de linkerkant van de vergelijking (hierboven is dat $a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + b$ ) en de uitdrukking rechts ervan heet het rechterlid of de rechterkant (hierboven is dat $0$ ).

De uitdrukkingen $a_1x_1, \ldots, a_nx_n$ en $b$ in het linkerlid van de basisvorm heten termen. Voor elke index $i$ noemen we het getal $a_i$ de coëfficiënt van $x_i$ . Termen waarin geen onbekende staat heten constante termen, of kortweg constanten (hierboven zijn dat de getallen $b$ en $0$ ).

Een lijst van $n$ getallen $[s_1,\ldots, s_n]$ heet een oplossing van de vergelijking als invullen van $x_1=s_1, \ldots, x_n=s_n$ in de vergelijking een ware bewering oplevert. Alle waarden van $x_1,\ldots x_n$ waarvoor de vergelijking waar is vormen de oplossing van de vergelijking.

Twee lineaire vergelijkingen heten equivalent wanneer ze dezelfde oplossingen hebben omdat ze via elementaire bewerkingen in elkaar kunnen worden omgezet.

Als twee vergelijkingen tot eenzelfde basisvorm herleid kunnen worden dan zijn ze equivalent.

Door substitutie $n=1$ , $a_1=2$ en $b=3$ in bovenstaande basisvorm van een lineaire vergelijking krijg je $2x_1+3=0$ . Een oplossing van deze vergelijking is $x_1=-\frac{3}{2}$ . Het is zelfs de oplossing: er zijn geen andere.

We zeggen dan dat $x_1=-\frac{3}{2}$ de oplossing is van de vergelijking $2x_1+3=0$ .

De vergelijking $x_1+2=-(x_1+1)$ is een equivalente lineaire vergelijking en heeft dus dezelfde oplossing.

De vergelijkingen $x+y=xy$ en $x+\sqrt{y}=0$ zijn niet lineair vanwege de aanwezigheid van het product $xy$ respectievelijk de vierkantswortel $\sqrt{y}$ .

De vergelijkingen $\frac{x-1}{2x-3}=4\;$ en $|x-1|=|2x-3|\;$ zijn weliswaar op te lossen via lineaire vergelijkingen (ga dit zelf na), maar toch noemen we ze geen lineaire vergelijkingen omdat de linkerkant van de eerste vergelijking een rationale uitdrukking is en de tweede vergelijking absolute waarden bevat. Hierdoor is er geen elementaire herleiding tot de basisvorm van een lineaire vergelijking.

De vergelijking $(x-1)^2=(x+1)^2$ beschouwen we wel als lineair, omdat haakjes wegwerken en termen hergroeperen leiden tot de vergelijking $4x=0$ . Het zou te gekunsteld zijn om deze vergelijking als een kwadratische vergelijking $0x^2+4x=0$ op te vatten, enkel en alleen omdat er in de oorspronkelijke vergelijking een kwadraat staat.

Daarentegen noemen we de vergelijking $\sqrt{(x-1)^2+4x}=0$ niet lineair, hoewel deze te herleiden is tot $x+1=0$ . Maar de herleiding bevat een niet-elementaire stap: de overgang van $\sqrt{(x+1)^2}=0$ naar $x+1=0$ .

Het begrip equivalentie van vergelijkingen kan ook toegepast worden voor niet-lineaire vergelijkingen:

Twee vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossing hebben.

Elk van de twee niet-lineaire vergelijkingen $(x-1)^3=0\;$ en $(x-1)^2=0\;$ is equivalent met de lineaire vergelijking $x-1=0$ en hebben dus dezelfde oplossing. Maar we noemen de oorspronkelijke vergelijkingen toch niet-lineair omdat voor de herleiding tot de lineaire vergelijking $x-1=0$ een niet-elementaire vereenvoudiging nodig is.

Niet-elementaire bewerking

Aan beide zijden van een vergelijking kwadrateren is een voorbeeld van een bewerking die niet elementair is en die niet altijd een vergelijking oplevert die equivalent is met de oorspronkelijke. Als we bijvoorbeeld de vergelijking $x=5$ aan beide zijden kwadrateren, dan krijgen we $x^2=25$ , een vergelijking die naast $x=5$ ook als oplossing $x=-5$ heeft. Bovendien voert deze bewerking een lineaire vergelijking vaak in een niet-lineaire vergelijking over.

Is de volgende vergelijking in $x$ lineair?

$2x-x=x+6$

Ja

De vergelijking kan herleid worden tot $0\cdot x-6=0$ en is dus lineair volgens de definitie.
Het is een ontaarde situatie waarin de onbekende niet echt in de vergelijking voorkomt.

Overigens heeft de vergelijking geen oplossingen.

Nieuw voorbeeld