Herleiden tot een basisvorm

Stelsels lineaire vergelijkingen: Basisbegrippen en standaardmethoden

Herleiden tot een basisvorm

We bespreken hier een systematische methode om een lineaire vergelijking tot een basisvorm te herleiden

Herleiding Herleiding van een lineaire vergelijking bestaat uit het stapsgewijs vereenvoudigen van de vergelijking door

op de linker- en rechterkant dezelfde operatie los te laten (bijvoorbeeld: aan beide zijden dezelfde term aftrekken of door dezelfde constante ongelijk $0$ delen).
gelijksoortige termen samen te brengen
haakjes weg te werken

Deze operaties voeren we uit met de bedoeling om op een een eenvoudigere vergelijking uit te komen, bijvoorbeeld een basisvorm

$a_1\cdot x_1 + \cdots + a_n\cdot x_n + b = 0$ met onbekenden $x_1,\ldots,x_n$ en getallen $a_1,\ldots,a_n,b$ ..

Met andere woorden, een lineaire vergelijking kan herleid worden door haakjes weg te werken, alle termen met een variabele naar links te brengen, alle constanten naar links te brengen, gelijksoortige termen bij elkaar op te tellen, en desgewenst beide zijden te delen door een constante ongelijk aan nul.

Uitgaande van de vergelijking $2x+y-1=x-2y-2$ kun je door herleiding bijvoorbeeld uitkomen op een vergelijking van de vorm $x+y+1=0$ .

Onderstaande voorbeelden illustreren de systematische aanpak van herleiding.

Herleid de vergelijking

$5x+4y-9=2x+6y+2$ tot een basisvorm.

Een mogelijke basisvorm is $3x-2y-11=0$ .

Dit volgt uit onderstaande herleiding.

$\begin{array}{rclcl} 5x+4y-9&=& 2x+6y+2 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\5x+4y-9- 2x &=& 2x+6y+2 - 2x &\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten }2x\text{ afgetrokken}}\\3x+4y-9 &=& 6y+2 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ 3x+4y-9- 6y &=& 6y+2 - 6y &\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten }6y\text{ afgetrokken}}\\3x-2y-9 &=& 2 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\3x -2y-9-2 &=& 2 -2&\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten } 2\text{ afgetrokken}}\\3x-2y-11 &=& 0&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$ Dit is een basisvorm van de lineaire vergelijking.

Een andere basisvorm krijg je bijvoorbeeld door aan beide kanten van de zojuist verkregen basisvorm door $3$ te delen, met als resultaat $x-{{2\cdot y}\over{3}}-{{11}\over{3}}=0$ .

Nieuw voorbeeld