Stelsels lineaire vergelijkingen: Basisbegrippen en standaardmethoden
Een lineaire vergelijking met meerdere onbekenden oplossen
Op dezelfde manier waarop we de algemene oplossing van een lineaire vergelijking met één onbekende beschreven hebben, kunnen we ook een lineaire vergelijking met twee of meer onbekenden oplossen; hierbij behandelen we een zeker aantal onbekenden tijdelijk als parameters.
Eerst bespreken we een vergelijking met twee onbekenden.
Oplossen van de lineaire vergelijking met twee onbekenden De lineaire vergelijking \(a\, x+b\, y=c\), met onbekende \(x\) en \(y\), waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) getallen of parameters zijn, kunnen we op de volgende twee manieren oplossen:
- Door \(y\) tijdelijk als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende \(x\) op, dan zien we dat \(x=-\frac{b}{a}\, y+\frac{c}{a}\). Dit kan alléén als \(a\ne0\); de oplossingen zijn dus alle paren \([x,y]\) die de vorm \([-\frac{b}{a}\, y+\frac{c}{a},y]\) hebben. Hier wordt de rol van \(y\) als parameter duidelijk: voor elke waarde van \(y\) is er precies één oplossing.
- Door \(x\) als parameter te zien: lossen we de lineaire vergelijking met onbekende \(y\) op, dan zien we dat \(y=-\frac{a}{b}\, x+\frac{c}{b}\). Dit kan alléén als \(b\ne0\); de oplossingen zijn dus alle paren \([x,y]\) die de vorm \([x,-\frac{a}{b}\, x+\frac{c}{b}]\) hebben. Hier wordt de rol van \(b\) als parameter duidelijk: voor elke waarde van \(x\) is er precies één oplossing.
Als zowel \(a\ne0\) en \(b\ne0\), dan is er overlap tussen het eerste en tweede geval. Elk van de twee geeft een manier om de verzameling oplossingen te beschrijven. De eerste doet dat door \(x\) als functie van \(y\) te zien, de tweede door \(y\) als functie van \(x\) te zien. Exclusief voor het eerste geval is de verticale lijn die bij \(a=0\) optreedt, en voor het tweede geval de horizontale lijn die bij \(b=0\) optreedt.
We gaan te werk als bij het oplossen van een lineaire vergelijking met onbekende \(y\). We zien \(x\) dus als parameter.
\[\begin{array}{rclcl} 8 x+2 y&=&4&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\
2 y &=& 4- 8 x&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{termen zonder }y\text{ naar rechterkant gebracht}}\\
y &=& \frac{4-8x}{2} &\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{gedeeld door de coëfficiënt }2\text{ van }y}\\
y &=& -4x + 2&\phantom{xxxxx}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd en volgorde van termen veranderd}}
\end{array}\]
Bovenstaande kunnen we veralgemeniseren.
Isoleren van een onbekende in een lineaire vergelijking met \(n\) onbekenden We bekijken de lineaire vergelijking \[a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + b = 0\] waarbij \(a_1, \ldots, a_n\) en \(b\) reële of complexe getallen zijn en \(x_1, \ldots, x_n\) onbekenden zijn.
- Stel dat de coëfficiënt van één van de onbekenden ongelijk aan nul is, zeg \(a_1\neq 0\); dan kan de onbekende \(x_1\) geïsoleerd worden door alle andere onbekenden tijdelijk als parameter te zien: \[ x_1=\frac{-b - a_2x_2 -\cdots - a_nx_n}{a_1}\]
- Als alle coëfficiënten gelijk aan nul zijn, blijven nog twee gevallen over:
- als \(b=0\), dan is elk \(n\)-tal \(\rv{x_1,\ldots,x_n}\) een oplossing, en
- als \(b\ne0\), dan is er geen enkele oplossing.
