Een stelsel van \(m\) lineaire vergelijkingen met \(n\) onbekenden \(x_1, \ldots, x_n\) is via elementaire bewerkingen te herleiden tot de volgende basisvorm \[\left\{\;\begin{array}{llllllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] Hierbij zijn alle \(a_{ij}\) en \(b_i\) met \(1\le i\le m, 1\le j\le n\) reële of complexe getallen. De getallen \(a_{ij}\) noemen we de coëfficiënten van het stelsel lineaire vergelijkingen. De getallen \(b_i\) zijn de rechterleden van het stelsel lineaire vergelijkingen.
Een stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de rechterleden in bovenstaande basisvorm allemaal gelijk aan nul zijn heet een homogeen stelsel; een algemeen stelsel heet inhomogeen. Het stelsel vergelijkingen dat uit een inhomogeen stelsel wordt verkregen door de rechterleden door nul te vervangen heet het bijbehorende homogene stelsel. Bovenstaand stelsel vergelijkingen heeft dus als bijbehorend homogeen stelsel \[\left\{\;\begin{array}{llllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\!\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\end{array}\right.\]
Bekijk het volgende stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden \(x\), \(y\) en \(z\): \[\lineqs{x-y +z &=& 9\cr x+y+z &=& 1\cr}\]
Dit is een stelsel van \(2\) lineaire vergelijkingen in \(3\) onbekenden. In plaats van \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) hebben we de onbekenden \(x\), \(y\), \(z\) genoemd. Hierbij is de volgorde iets minder vanzelfsprekend. Die moet dus wel worden aangegeven.
Het bijbehorende homogene stelsel is \[\lineqs{x-y +z &=& 0\cr x+y+z &=& 0\cr}\]
Elke vergelijking is geschreven in een vorm die alleen afwijkt van de eerder afgesproken basisvorm, doordat de constanten nu rechts van het gelijkheidsteken staan en eerder links.
Bovendien staan de onbekenden bij elke vergelijking van het stelsel in dezelfde volgorde.
De oplossingen van een inhomogeen stelsel lineaire vergelijkingen zijn van de vorm \(p+H\), waarbij \(p\) een vast gekozen oplossing van het inhomogene stelsel is (de zogenaamde particuliere oplossing) en \(H\) alle oplossingen van het bijbehorende homogene stelsel doorloopt (oftewel \(H\) is de algemene oplossing van het bijbehorende homogene stelsel).
Bekijk het volgende stelsel lineaire vergelijkingen in de onbekenden \(x\), \(y\) en \(z\): \[\lineqs{x-y +z \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 9\cr x+y+z \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 1\cr}\] Het stelsel is inhomogeen, want de rechter leden zijn niet (allemaal) gelijk aan \(0\).
Een particuliere oplossing van dit stelsel is \(\rv{x,y,z} = \rv{5,-4,0}\).
Het bijbehorende homogene stelsel is \[\lineqs{x-y +z \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 0\cr x+y+z \!\!\!\!&=&\!\!\!\! 0\cr}\] De oplossing van dit homogene stelsel is \(\rv{x,y,z} = \rv{-z,0,z}\).
Volgens de stelling is de (algemene) oplossing van het inhomogene stelsel \[\rv{x,y,z} = \rv{5,-4,0}+\rv{-z,0,z} = \rv{5-z,-4,z}\]
Voor de liefhebber schrijven we het bewijs op voor de stelling dat elke oplossing van een inhomogeen stelsel lineaire vergelijkingen te schrijven is als de som van een particuliere oplossing van het gegeven stelsel en een oplossing van het bijbehorende homogene stelsel.
Stel dat \(O\) de algemene oplossing is van het inhomogene stelsel \[\left\{\;\begin{array}{lllllllll} a_{11}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{12}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{1n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_1\\ a_{21}x_1 \!\!&+&\!\! a_{22}x_2 \!\!&+&\!\! \cdots \!\!&+&\!\! a_{2n}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_2\\ \vdots &&\vdots &&&& \vdots&&\!\!\!\!\vdots\\ a_{m1}x_1 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{m2}x_2 \!\!\!\!&+&\!\!\!\! \cdots \!\!\!\!&+&\!\!\!\! a_{mn}x_n\!\!\!\!&=&\!\!\!\!b_m\end{array}\right.\] Stel \(p\in O\) en \(p=(p_1,p_2,\cdots,p_n)\). Dan geldt voor elke \(i=1,2,\ldots,m\): \[a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n=b_i\] Stel \(h\in H\) en \(h=(h_1,h_2,\cdots,h_n)\). Dan geldt voor elke \(i=1,2,\ldots,m\): \[a_{i1}h_1+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}h_n=0\] Dus geldt voor elke \(i=1,2,\ldots,m\): \[\begin{array}{ll} a_{i1}(p_1+h_1)+a_{i2}(p_2+h_2)+\cdots+a_{in}(p_n+h_n) & \\ \quad = a_{i1}p_1+a_{i1}h_1+a_{i2}p_2+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}p_n+a_{in}h_n & \\ \quad = (a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n) +(a_{i1}h_1+a_{i2}h_2+\cdots+a_{in}h_n) & \\ \quad = b_i+0 & \\ \quad = b_i & \end{array}\] Met andere woorden, \(p+h\) is een oplossing van het inhomogene stelsel, oftewel \(p+h\in O\). Dus: \[p+H\subseteq O\]
Omgekeerd, stel dat \(o=(o_1, o_2, \ldots, o_n)\) een willekeurig gekozen oplossing van het inhomogene stelsel is. Dan geldt voor elke \(i=1,2,\ldots,m\): \[a_{i1}o_1+a_{i2}o_2+\cdots+a_{in}o_n=b_i\] Merk op dat \(o=p+(o-p)\), waarbij \(p\) de particuliere oplossing is. We tonen nu aan dat \(o-p\in H\), dat wil zeggen, dat \(o-p\) een oplossing van het bijbehorende homogene stelsel is. Voor elke \(i=1,2,\ldots,m\) geldt: \[\begin{array}{ll} a_{i1}(o_1-p_1)+a_{i2}(o_2-h_2)+\cdots+a_{in}(o_n-h_n) & \\ \quad = a_{i1}o_1-a_{i1}p_1+a_{i2}o_2-a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}o_n-a_{in}p_n & \\ \quad = (a_{i1}o_1+a_{i2}o_2+\cdots+a_{in}o_n) -(a_{i1}p_1+a_{i2}p_2+\cdots+a_{in}p_n) & \\ \quad = b_i-b_i & \\ \quad = 0 & \end{array}\] Hieruit volgt dat \(o\in p+H\) en dus: \[O\subseteq p+H\] De slotconclusie is: \[O=p+H\]
Oplossingen van een homogeen stelsel vergelijkingen kun je bij elkaar optellen en dit leidt weer tot een oplossing van hetzelfde stelsel.
Net zo goed kun je een oplossing ook met een factor vermenigvuldigen; dan krijg je opnieuw een oplossing van het stelsel.
We bekijken opnieuw het volgende homogene stelsel van lineaire vergelijkingen in de onbekenden \(x\), \(y\) en \(z\): \[\lineqs{x-y +z &=& 9\cr x+y+z &=& 1\cr}\] De oplossing van dit stelsel is \(\rv{x,y,z} = \rv{-z,0,z}\). In het bijzonder is elke oplossing van de vorm \(z\cdot \rv{-1,0,1}\).
De som van de oplossingen \(z_1\cdot \rv{-1,0,1}\) en \(z_2\cdot \rv{-1,0,1}\) geeft de oplossing \((z_1+z_2)\cdot \rv{-1,0,1}\).
Vermenigvuldigen we de oplossing \(z\cdot \rv{-1,0,1}\) met de scalair \(\lambda\) dan krijgen we de oplossing \((\lambda \cdot z)\cdot \rv{-1,0,1}\).
De eerste bewering volgt uit de voorafgaande stelling. Immers, als er twee oplossingen van het homogene stelsel van lineaire vergelijkingen zijn, dan kunnen we de ene oplossing beschouwen als een particuliere oplossing en de tweede oplossing als een oplossing van het bijbehorende homogene stelsel. Uit de stelling volgt dan dat de som van de twee oplossingen een oplossing is van het oorspronkelijke stelsel van vergelijkingen , d.w.z. van het gegeven homogene stelsel van lineaire vergelijkingen.
Bij de tweede bewering maken we ook gebruik van het gegeven dat rechter leden van het stelsel gelijk aan nul zijn. We bewijzen het voor het geval van een vergelijking met twee onbekenden \(x\) en \(y\); het algemene geval kun je op soortgelijke manier afhandelen. We beginnen dus met een lineaire vergelijking van de vorm \(a\cdot x + b\cdot y=0\) met constanten \(a\) en \(b\). Als \(\rv{x,y}\) een oplossing is en \(\lambda\) een constante, dan moeten we bewijzen dat \(\lambda\cdot \rv{x,y}\), dat gelijk is aan \(\rv{\lambda\cdot x,\lambda\cdot y}\), een oplossing van de gegeven vergelijking is. Dat is inderdaad waar: \[a\cdot(\lambda\cdot x) + b\cdot (\lambda\cdot y)=\lambda\cdot(a\cdot x + b\cdot y)=\lambda\cdot 0=0\]
Homogene en inhomogene stelsels
