Vergelijkingen en matrices

Stelsels lineaire vergelijkingen: Van stelsels naar matrices en rijreductie

Vergelijkingen en matrices

Nu we besproken hebben hoe stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van matrices weergegeven kunnen worden, formuleren we de elementaire bewerkingen op stelsels lineaire vergelijkingen in termen van matrices.

Elementaire rijoperaties De elementaire bewerkingen op stelsels lineaire vergelijkingen vertalen zich rechtstreeks in elementaire rijoperaties op (ofwel elementaire bewerkingen op rijen van) de aangevulde matrix. Deze operaties kunnen we kort noteren door de \(i\)-de rij in de matrix aan te duiden met \(R_i\). De drie elementaire rijoperaties op matrices zijn dan:

\(R_i\rightarrow c\cdot R_i\;(c\neq 0)\): het vermenigvuldigen van alle getallen in de \(i\)-de rij met het getal \(c\). \[\small\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} & b_i \\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\rightsquigarrow \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots && \vdots & \vdots \\ c\cdot a_{i1} & \cdots & c\cdot a_{in} & c\cdot b_i \\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\]
\(R_i\rightarrow R_i+c\cdot R_j\): het optellen van het \(c\)-voud van de \(j\)-de rij bij de \(i\)-de rij. \[\small \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} & b_i \\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{jn} & b_j \\ \vdots && \vdots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\rightsquigarrow \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{i1}+c\, a_{j1} & \cdots & a_{in}+c\, a_{jn} & b_{i}+c\, b_j \\ \vdots&& \vdots & \vdots \\ a_{j1}& \cdots & a_{jn} & b_j \\ \vdots && \vdots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\]
\(R_i\leftrightarrow R_j\): het verwisselen van de \(i\)-de en \(j\)-de rij. \[\small\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} & b_i \\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{jn} & b_j \\ \vdots && \vdots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\rightsquigarrow \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{jn} & b_j \\ \vdots&& \vdots & \vdots \\ a_{i1}& \cdots & a_{in} & b_i \\ \vdots && \vdots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{array}\right)\]

Het pijltje \(\rightarrow\) in bovenstaande rijoperaties heeft de betekenis van "wordt vervangen door". Hiermee beschrijven we de rijoperatie(s) die we hebben toegepast om de matrix links van het symbool te doen overgaan in de matrix aan de rechterkant.

Het symbool \(\rightsquigarrow\) heeft de betekenis "wordt gereduceerd tot" (ook wel "wordt herleid tot" genoemd). We gebruiken het symbool \(\boldsymbol{\sim}\) om aan te geven dat de matrices links en rechts van dit teken uit elkaar ontstaan door een reeks elementaire rijoperaties. We zeggen dan dat de ene matrix uit de andere verkregen kan worden door rijreductie of kortweg reductie.

Een matrix die door reductie verkregen is uit de aangevulde matrix van een stelsel lineaire vergelijkingen is de aangevulde matrix van een stelsel vergelijkingen dat dezelfde oplossing heeft als het oorspronkelijke stelsel.

Voorbeeld Ter illustratie van de matrixnotatie bekijken we voorbeeld dat eerder, bij de behandeling van de elementaire bewerkingen, ook behandeld is. Bij het stelsel lineaire vergelijkingen \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&y&+&z&+&w&=&1\\ 2x&+&y&+&z&+&2w&=&4\end{array}\right.\] hoort de aangevulde matrix \[\left(\,\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 &1 & 1 & 1\\ 2 & 1 &1 &2 & 4 \end{array}\,\right)\] We laten bij elke stap in de veegmethode zien wat het effect op het stelsel is en welke aangevulde matrix er verkregen wordt.

We trekken de eerste vergelijking #2# keer bij de tweede vergelijking af, dat wil zeggen dat we de elementaire rijoperatie \(R_2\rightarrow R_2-2R_1\) toepassen op de aangevulde matrix, dan krijgen we \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&y&+&z&+&w&=&1\\ &-&y&-&z&&&=&2\end{array}\right.\qquad\mathrm{en}\qquad \left(\,\begin{array}{rrrr|r} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 &-1 & 0& 2 \end{array}\,\right) \] Vervolgens tellen we de tweede vergelijking bij de eerste op, dat wil zeggen, passen we de elementaire rijoperatie \(R_1\rightarrow R_1+R_2\) toe: \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&&&&&+&w&=&3\\ &-&y&-&z&&&=&2\end{array}\right.\qquad\mathrm{en}\qquad \left(\,\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & -1 &-1 & 0& 2 \end{array}\,\right)\] Tenslotte vermenigvuldigen we de tweede vergelijking met #-1#, dat wil zeggen, passen we de elementaire rijoperatie \(R_2\rightarrow -1\cdot R_2\) toe: \[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&&&&&+&w&=&3\\&&y&+&z&&&=&-2\end{array}\right.\qquad\text{en}\qquad \left(\,\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\,\right)\]

Als we alleen maar vegen in matrixnotatie en de stappen expliciet willen aangeven, dan noteren we bovenstaand veegproces als volgt: \[\begin{array}{rcll} \left(\begin{array}{rrrr|r} \color{green}{1} & 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 &1 & 2 & 4 \end{array}\right) & \rightsquigarrow & \left(\begin{array}{rrrr|r} \color{green}{1} & 1 & 1 & 1 & 1\\ \color{green}{0} & -1 &-1 & 0& 2 \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{r} \phantom{x} \\ R_2-2R_1\end{array}}\\ \\ & \rightsquigarrow & \left(\begin{array}{rrrr|r} \color{green}{1} & \color{green}{0} & 0 & 1 & 3\\ \color{green}{0} & -1 & -1 & 0 & 2 \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{r} R_1+R_2\\ \phantom{x}\end{array}} \\ \\ & \rightsquigarrow & \left(\,\begin{array}{rrrr|r} \color{green}{1} & \color{green}{0} & 0 & 1 & 3\\ \color{green}{0} & \color{green}{1} & 1 & 0 & -2 \end{array}\,\right) &\blue{\begin{array}{r}\phantom{x}\\ -R_2\end{array}} \end{array}\] In elk stadium hebben we hierboven elementen in de matrix waar we al tevreden mee zijn en niets meer aan veranderen in het vervolg van het veegproces groen gekleurd; de rijoperaties in het veegproces zijn ter toelichting in blauw gespecificeerd; bij rijen waarin niets gebeurt voegen we ook geen commentaar toe.

Aan de blauwe aanwijzing aan de rechterkant kun je al zien welke rijoperatie(s) we hebben toegepast om van de matrix links tot de matrix rechts te komen.

De aangevulde matrix in het eindresultaat heeft een speciale vorm, de zogenaamde rijgereduceerde trapvorm, die later aan bod komt.

Homogeen stelsel

In het geval van een homogeen stelsel kunnen we de coëfficiëntenmatrix nemen in plaats van de aangevulde matrix.

Elk effect van een elementaire rijoperatie kan met een gelijksoortige rijoperatie weer ongedaan gemaakt worden. In de vorm van stelsels vergelijkingen bleek dit uit het bewijs van de stelling dat stelsels die in elkaar overgevoerd kunnen worden door achtereenvolgende elementaire bewerkingen, equivalent zijn. Deze stelling geeft ook het belangrijkste punt weer van een rijoperatie in de veegmethode: bij overgang van de ene aangevulde matrix naar een andere aangevulde matrix blijven de bijbehorende stelsels lineaire vergelijkingen equivalent.

Het symbool \(\sim\) wordt in het algemeen gebruikt om een equivalentierelatie aan te duiden. Eerder hebben we twee stelsels lineaire vergelijkingen equivalent genoemd als ze dezelfde oplossing hebben. Ook hebben we eerder vermeld dat twee stelsels dan en slechts dan equivalent zijn als ze in elkaar overgevoerd kunnen worden door een reeks elementaire bewerkingen, waarbij we toelaten dat nulrijen weggelaten en toegevoegd kunnen worden. Dit is een equivalentierelatie. Het gebruik van het equivalentiesymbool is hier op zijn plaats, al laten we bij #\sim# niet toe dat rijen weggehaald en/of toegevoegd worden.

Nu is aan de orde hoe het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen vertaald kan worden in termen van matrices. Hieronder staat de eerste stap in deze richting.

Het doel

Elke elementaire bewerking van een matrix correspondeert met een elementaire bewerking op het bijbehorende stelsel lineaire vergelijkingen. Daarom zijn de stelsels vergelijkingen bij matrices #A# en #B# met \(A \rightsquigarrow B\) equivalent.

De bedoeling is de aangevulde matrix met elementaire bewerkingen zodanig te veranderen dat de bijbehorende vergelijkingen opgelost zijn.

Als bijvoorbeeld het linker deel van de coëfficiëntenmatrix met de elementen uit alle #m# rijen die in de eerste #m# kolommen staan, de vorm \[\matrix{1&0&0&\cdots&0 \\ 0&1&0&\cdots&0 \\ \vdots&\vdots&&\vdots&0 \\ 0&\cdots&\cdots&1&0 \\ 0&\cdots&\cdots&0&1 }\] heeft, dan is de oplossing van het bijbehorende stelsel af lezen uit de aangevulde matrix: de onbekenden #x_1,\ldots,x_m# worden uitgedrukt in de constanten en de overige onbekenden #x_{m+1},\ldots,x_n# (die hierbij dus als vrije parameters gebruikt worden). Bovenstaande matrix heet de identiteitsmatrix van dimensie #m# en wordt wel aangeduid met #I_m# of zelfs #I# als de dimensie duidelijk is.

Dit doel is niet altijd te bereiken, dat wil zeggen: niet elke #(m\times m)#-matrix #A# voldoet aan \(A \rightsquigarrow B\). Een tegenvoorbeeld is #A=\matrix{1&1\\ 1&1}#. Maar er is een meer algemene methode, de gereduceerde trapvorm, die wel altijd te bereiken is. Daar komen we later op terug.

In het geval dat we bespreken, gaan we ervan uit dat we met elementaire bewerkingen tot de volgende vorm gekomen zijn:

\[ \matrix{1&0&0&\cdots&0&a_{1,m+1}&\cdots&a_{1,n}&b_1\\ 0&1&0&\cdots&0&a_{2,m+1}&\cdots&a_{2,n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&\cdots&1&0&a_{m-1,m+1}&\cdots&a_{m-1,n}&b_{m-1} \\ 0&\cdots&\cdots&0&1&a_{m,m+1}&\cdots&a_{m,n}&b_m}\]

De oplossing van het bijbehorende stelsel lineaire vergelijkingen is dan

\[ \lineqs{x_1&=&b_1-a_{1,m+1}x_{m+1}-\cdots-a_{1,n}x_n\\ x_2&=&b_2-a_{2,m+1}x_{m+1}-\cdots-a_{2,n}x_n\\ \vdots\phantom{x} &=&\phantom{hoop geschrijf}\vdots\\ x_m&=&b_m-a_{m,m+1}x_{m+1}-\cdots-a_{m,n}x_n\\ }\]

Hoe de oplossing uit de algemene gereduceerde trapvorm afgelezen wordt, zullen we behandelen in Lineaire vergelijkingen oplossen met Gauss-eliminatie.

Bekijk nog een paar voorbeelden van stelsels met twee of drie onbekenden om de smaak van de veegmethode via matrices te pakken te krijgen.

Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met onbekenden \(x\) en \(y\) op via vegen in een aangevulde matrix. \[\lineqs{ x-4 y&=&-5\cr 3 x-10 y&=&-13 \cr}\]

\( x=-1\quad\land\quad y=1 \)

Om dit in te zien starten we met het originele stelsel vergelijkingen \[\lineqs{ x-4 y&=&-5\cr 3 x-10 y&=&-13 \cr}\] en schrijven de bijpassende aangevulde matrix op, waarna het veegproces kan beginnen. Met het vegen gaan we net zolang door totdat we de zogenaamde rijgereduceerde trapvorm (ook wel gereduceerde trapvorm of rijgereduceerde echelonvorm genoemd) bereikt hebben: in dit geval staat in de aangevulde matrix links van de verticale streep de identiteitsmatrix \(\matrix{1&0\\ 0&1}\) en is de oplossing van het stelsel vergelijkingen eenvoudig af te lezen. De matrixelementen die tijdens onderstaand veegproces al de gewenste waarde hebben kleuren we groen. Bedenk wel dat het vegen met verschillende tussenstappen kan, maar dat je altijd op hetzelfde eindresultaat uitkomt.
\[\begin{array}{rcll} \left(\begin{array}{rr|r}\color{green}{1} & -4 & -5 \\ 3 & -10 & -13 \end{array}\right) & \sim & \left(\begin{array}{rr|r} \color{green}{1} & -4 & -5 \\ \color{green}{0} & 2 & 2 \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{l} \phantom{x} \\ R_{2}-3 R_{1}\end{array}}\\ \\ & \sim & \left(\begin{array}{rr|r} \color{green}{1} & \color{green}{0} & -1 \\ \color{green}{0} & 2 & 2 \end{array}\right) &\blue{\begin{array}{l} 2 R_{2}+R_{1}\\ \phantom{x}\end{array}} \\ \\ & \sim & \left(\,\begin{array}{rr|r} \color{green}{1}& \color{green}{0} & -1 \\ \color{green}{0} & \color{green}{1} & 1\end{array}\,\right) &\blue{\begin{array}{r}\phantom{x}\\ \frac{1}{2}\!R_2\end{array}} \end{array}\] De oplossing van het stelsel vergelijkingen is nu zo af te lezen: \[x=-1\quad\land\quad y=1\]

Nieuw voorbeeld