Trapvorm en gereduceerde trapvorm

Stelsels lineaire vergelijkingen: Van stelsels naar matrices en rijreductie

Trapvorm en gereduceerde trapvorm

In de voorbeelden van vegen in aangevulde matrices die in de vorige paragraaf aan bod kwamen, spelen de volgende begrippen zo'n grote rol dat we ze van een naam voorzien..

Trapvorm Onder het leidende element van een rij in een matrix verstaan we het eerste element (van links) in die rij dat niet nul is.

Een matrix staat in trapvorm (in het Engels echelon form) als hij de volgende twee eigenschappen heeft:

alle elementen in de rijen onder een leidend element, in de kolom waarin dat leidende element staat zowel als in de kolommen links ervan, zijn nul;
nulrijen (rijen met alleen maar nullen) staan onderaan.

Met andere woorden Een matrix heeft een trapvorm als de nulrijen onderaan staan en het leidende element van elke rij strikt aan de rechterkant van het leidende element van de rijen erboven staat.

De naam 'trapvorm' verwijst naar de bovendriehoeksvorm die de matrix heeft. De elementen van de matrix met nullen vormen dus de trap.

Bovendriehoeksvorm We zeggen dat een matrix in bovendriehoeksvorm is (of gewoon bovendriehoeks) als alle #(i,j)#-elementen met #i\gt j# gelijk zijn aan nul. Matrices in 'trapvorm' zijn altijd in bovendriehoeksvorm. De elementen van de matrix onderin die nul zijn vormen een trap. Dat een matrix in bovendriehoeksvorm niet altijd een matrix in trapvorm hoeft te zijn wordt geïllustreerd door het volgende voorbeeld. \[\left(\begin{array}{ccccc}0&3&3\\0&1&4\\0&0&-2\\\end{array}\right)\]

Voorbeeld

Wat zijn de plaatsen in de rij van de leidende elementen van onderstaande #(5\times 2)#-matrix?

\[\matrix{3 & 2 \\ 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 4 \\ -5 & 0 \\ }\]

Het leidende element van rij 1 staat op plaats 1.

Het leidende element van rij 2 staat op plaats 2.

Het leidende element van rij 3 bestaat niet.

Het leidende element van rij 4 staat op plaats 2.

Het leidende element van rij 5 staat op plaats 1.

Nieuw voorbeeld

De leidende elementen van een matrix in trapvorm corresponderen met onbekenden van het bijbehorende stelsel vergelijkingen die geschreven kunnen worden als een lineaire combinatie van onbekenden met een hogere index. Als we een matrix via rijreductie in trapvorm over kunnen voeren, zullen we dus weer een stap richting de oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen gemaakt hebben.

Enkele voorbeelden De volgende drie matrices staan in trapvorm, ga zelf na dat aan de voorwaarden voldaan is.\[\left(\begin{array}{ccccc}2&3&0\\0&1&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccccc}6 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\\end{array}\right)\text{ en }\left(\begin{array}{ccccc} 4 & 4\\ 0 & 1\\\end{array}\right)\] De volgende matrix is níet in trapvorm, waarom niet?\[\left(\begin{array}{ccccc}5 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 \\ 0&0&0\\\end{array}\right)\]

Zoals we later zullen zien, kan een matrix via elementaire bewerkingen in trapvorm overgevoerd worden. Maar we kunnen verder gaan, namelijk tot de hieronder gedefinieerde rijgereduceerde trapvorm.

Gereduceerde trapvorm Een matrix staat in rijgereduceerde trapvorm of, korter, gereduceerde trapvorm als hij de volgende drie eigenschappen heeft:

de matrix staat in trapvorm;
de leidende elementen zijn allemaal gelijk aan #1#;
alle elementen boven een leidend element zijn gelijk aan nul.

Een gereduceerde trapvorm herkennen we dus aan de volgende eigenschappen:

In elke rij is, van linksaf gezien, het eerste element dat niet gelijk is aan #0# (het leidende element) een #1#; de kolom die deze #1# bevat, bestaat verder uit louter nullen.
Elke rij die niet uit louter nullen bestaat (een niet-nulrij) begint met meer nullen dan de voorgaande rij. In het bijzonder staan nulrijen (rijen met enkel nullen) onderaan.

De matrix \[\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 3\\\end{array}\right)\] staat in trapvorm, maar niet in gereduceerde trapvorm: de matrix voldoet aan de eerste twee eisen van de gereduceerde trapvorm (de matrix staat in trapvorm en alle leidende elementen zijn gelijk aan #1#), maar niet aan de laatste eis "alle elementen boven een leidend element zijn gelijk aan nul". Immers, in de tweede kolom staat boven het leidende element #1# van de tweede rij een getal dat ongelijk aan nul is (namelijk #-1#).

Voorbeelden De volgende matrices staan in gereduceerde trapvorm, ga dit na. \[\left(\begin{array}{ccccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccccc}1&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\text{ en }\left(\begin{array}{ccccc}1&4&0&3&0\\0&0&1&2&0\\0&0&0&0&1\end{array}\right)\]

Door elementaire bewerkingen met rijen kunnen we altijd een matrix omzetten in een gereduceerde trapvorm. Hoe dat precies in zijn werk gaat bespreken we in de volgende paragraaf.

Bepaal de rijgereduceerde trapvorm van de matrix \[\matrix{1 &0 & -3 &-6 \\
1 &-16 &-11 &-54 \\
1 &0 &13 &26 \\
}
\]

Rijgereduceerde trapvorm = \(
\matrix{
1 &0 &0 &0\\
0 &1 &0 &2 \\
0 &0 &1 &2 \\ }\)

Hieronder staat een rijreductie van de matrix in kleine stapjes tot dit resultaat.
\[\begin{aligned} \matrix{1&0&-3&-6\\1&-16&-11&-54\\1&0&13&26\\}&\sim\matrix{1&0&-3&-6\\0&-16&-8&-48\\1&0&13&26\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-R_1\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&0&-3&-6\\0&-16&-8&-48\\0&0&16&32\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\\phantom{x}\\R_3-R_1\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&0&-3&-6\\0&1&{{1}\over{2}}&3\\0&0&16&32\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\-{{1}\over{16}}R_2\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&0&-3&-6\\0&1&{{1}\over{2}}&3\\0&0&1&2\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\\phantom{x}\\{{1}\over{16}}R_3\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&0&0&0\\0&1&{{1}\over{2}}&3\\0&0&1&2\\}&{\blue{\begin{array}{c}R_1+3R_3\\\phantom{x}\\\phantom{x}\end{array}}}\\\\ &\sim\matrix{1&0&0&0\\0&1&0&2\\0&0&1&2\\}&{\blue{\begin{array}{c}\phantom{x}\\R_2-{{1}\over{2}}R_3\\\phantom{x}\end{array}}} \end{aligned}\]

Je kunt natuurlijk ook stappen combineren. Onderstaand schema illustreert dit en het deel van de matrix dat we al verwerkt hebben is groengekleurd.
\[
\begin{array}{rcll}
\left(
\begin{array}{cccc}
1 &0 & -3 &-6 \\
1 &-16 &-11 &-54 \\
1 &0 &13 &26 \\
\end{array}
\right)
&\sim& \left( \begin{array}{cccc} \color{green}{1} & \color{green}{0} & -3 & -6 \\ \color{green}{0} & -16 & -8 & -48 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & 16 & 32 \\ \end{array} \right) &\blue{\begin{array}{l} \phantom{x} \\ R_2 - R_1 \\ R_3 - R_1\end{array}}\\ \\
&\sim& \left( \begin{array}{cccc} \color{green}{1} &\color{green}{0} & -3 &-6 \\ \color{green}{0} &\color{green}{1} &\frac{1}{2} &3 \\ \color{green}{0} &\color{green}{0} &16 &32 \\ \end{array} \right) &\blue{\begin{array}{l} \phantom{x}\\ -\frac{1}{16} R_2\\ \phantom{z}\end{array}}\\ \\

&\sim& \left( \begin{array}{cccc} \color{green}{1} & \color{green}{0} & -3 &-6\\ \color{green}{0} & \color{green}{1} & \frac{1}{2} &3 \\ \color{green}{0} & \color{green}{0} & \color{green}{1} &2 \\ \end{array} \right) &\blue{\begin{array}{l} \phantom{x}\\ \phantom{y}\\ \frac{1}{16} R_3\end{array}}\\ \\
&\sim& \left( \begin{array}{cccc} \color{green}{1} &\color{green}{0} &\color{green}{0} &0\\ \color{green}{0} &\color{green}{1} &\color{green}{0} &2 \\ \color{green}{0} &\color{green}{0} &\color{green}{1} &2 \\ \end{array} \right) &\blue{\begin{array}{l} R_1+3 R_3 \\ R_2 -\frac{1}{2} R_3 \\ \phantom{z}\end{array}}
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld